エネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル（エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor (stress-energy-momentum tensor) ）とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する物理量であり、二階のテンソル $T^{\mu \nu }\,$ として表現される。一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式では、物質分布を示す右辺の項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、真空な状況を考える時は、 $T^{\mu \nu }=0\,$ とすればよい。

エネルギー・運動量テンソル $T^{\mu \nu }\,$ は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号は$(-,+,+,+)\,$とする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。

共変微分をもちいて $T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0\,$ とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。

各成分の意味

• 時間-時間成分、即ち $T^{00}\,$ は、エネルギー密度である。
• 時間-空間成分、即ち $T^{0j}\,$ は、$x^{j}\,$の方向へのエネルギーの流れである。
• 空間-時間成分、即ち $T^{i0}\,$ は、i-成分の運動量密度である。
• 空間成分、即ち $T^{ij}\,$ は、$x^{j}\,$の方向への i-成分の運動量の流れである。

完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル

物質分布が完全流体近似できるならば、次のように仮定することができる。

$T^{\mu \nu }=(\rho +p)u^{\mu }u^{\nu }+g^{\mu \nu }p\,$

$\rho ,p,g^{\mu \nu },u^{\mu }\,$ は、それぞれ質量密度・圧力・計量テンソル・観測者の4元速度ベクトル（共動座標系ならば、$u^{\mu }=(1,0,0,0)\,$）である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

電磁場のエネルギー・運動量テンソルは以下で定義される量である。

$T^{\mu \nu }=\varepsilon _{0}c^{2}(F^{\mu \lambda }{F^{\nu }}_{\lambda }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F^{\kappa \lambda }F_{\kappa \lambda })$

$T^{00}\,$ はエネルギー密度、$T^{0j}\,$ 及び$T^{i0}\,$ はポインティング・ベクトル、$F^{ij}\,$ はマクスウェルの応力テンソルである。

関連語句

• 一般相対性理論 - アインシュタイン方程式