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'''エネルギー・運動量テンソル'''(エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor (stress-energy-momentum tensor) )とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する[[物理量]]であり、二階の[[テンソル]] <math>T^{\mu\nu}\,</math> として表現される。[[一般相対性理論]]における[[アインシュタイン方程式]]では、物質分布を示す右辺の項として登場し、[[重力]]を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、[[真空]]な状況を考える時は、 <math>T^{\mu\nu}=0\,</math> とすればよい。 |
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'''エネルギー・運動量テンソル'''とは、二階の[[テンソル]] T<sup>μν</sup>であり、 |
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で定義される[[物理量]]である。ここで、ρ は質量分布である。 |
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以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、[[計量]](metric)の符号は<math>(-,+,+,+)\,</math>とする。また、[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。 |
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共変微分をもちいて |
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<math>T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0\,</math> |
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とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。 |
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エネルギー・運動量テンソルは[[アインシュタイン方程式]]に現れ、[[重力]]を生じる原因である。 |
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== 各成分の意味 == |
== 各成分の意味 == |
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エネルギー・運動量テンソルの時間成分、即ち T<sup>00</sup> は、エネルギー密度である。 |
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*時間-時間成分、即ち <math>T^{00}\,</math> は、エネルギー密度である。 |
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*空間成分、即ち <math>T^{ij}\,</math> は、<math>x^j\,</math>の方向への i-成分の運動量の流れである。 |
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== 完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル == |
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物質分布が完全流体近似できるならば、次のように仮定することができる。 |
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<math>\rho, p, u^\mu\,</math> は、それぞれ質量密度・圧力・観測者の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、<math>u^\mu=(1,0,0,0)\,</math>)である。 |
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== 電磁場のエネルギー・運動量テンソル == |
== 電磁場のエネルギー・運動量テンソル == |
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:<math>T^{\mu\nu} = \varepsilon_0 c^2 (F^{\mu\lambda} {F^{\nu}}_{\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu} F^{\kappa\lambda} F_{\kappa\lambda}) </math> |
:<math>T^{\mu\nu} = \varepsilon_0 c^2 (F^{\mu\lambda} {F^{\nu}}_{\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu} F^{\kappa\lambda} F_{\kappa\lambda}) </math> |
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<math>T^{00}\,</math> は[[エネルギー密度]]、<math>T^{0j}\,</math> 及び<math>T^{i0}\,</math> は[[ポインティング・ベクトル]]、<math>F^{ij}\,</math> は[[マクスウェルの応力テンソル]]である。 |
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== 関連語句 == |
== 関連語句 == |
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*[[アインシュタイン方程式]] |
*[[一般相対性理論]] - [[アインシュタイン方程式]] |
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[[en:Stress_energy_tensor]] |
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2006年9月4日 (月) 04:57時点における版
エネルギー・運動量テンソル(エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor (stress-energy-momentum tensor) )とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する物理量であり、二階のテンソル として表現される。一般相対性理論におけるアインシュタイン方程式では、物質分布を示す右辺の項として登場し、重力を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、真空な状況を考える時は、 とすればよい。
エネルギー・運動量テンソル は、定義から明らかに対称テンソルである。 以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、計量(metric)の符号はとする。また、アインシュタインの縮約記法を用いる。
共変微分をもちいて とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
各成分の意味
- 時間-時間成分、即ち は、エネルギー密度である。
- 時間-空間成分、即ち は、の方向へのエネルギーの流れである。
- 空間-時間成分、即ち は、i-成分の運動量密度である。
- 空間成分、即ち は、の方向への i-成分の運動量の流れである。
完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル
物質分布が完全流体近似できるならば、次のように仮定することができる。
は、それぞれ質量密度・圧力・観測者の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、)である。
電磁場のエネルギー・運動量テンソル
電磁場のエネルギー・運動量テンソルは以下で定義される量である。
はエネルギー密度、 及び はポインティング・ベクトル、 はマクスウェルの応力テンソルである。