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ただし、''h'' = (''b'' − ''a'')/2。さらに <math>f(x)</math> が2回微分可能で ''f''′′ が[[凸関数]]であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。 |
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ただし、''h'' = (''b'' − ''a'')/2。さらに <math>f(x)</math> が2回微分可能で <math>f''</math> が[[凸関数]]であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。 |
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:<math>(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{3}h^3f''\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].</math> |
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:<math>(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{3}h^3f''\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].</math> |
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2019年9月20日 (金) 10:59時点における版
シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、英: Simpson's rule) とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分
の近似値を、関数 を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンにちなんでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。
基本
シンプソンの公式は、 を二次関数 で近似することによって導かれる。ここで、 は の a, b, m における値をそれぞれとる[m は“中点”、すなわち (a+b)/2 ]。 は、ラグランジュ補間によって、次の多項式( の二次式)になることがわかる。
この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。
シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる(h の5次式)。
ただし、h = (b − a)/2。さらに が2回微分可能で が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。
合成シンプソン公式
シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることがわかる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。
ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = (b − a)/n は各部分区間の長さ、 、特に、 。この式は、次のようにも書ける。
合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。
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参考文献
- Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169
外部リンク