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2018年3月4日 (日) 01:31時点における版

論理学において、記号は広く論理的表現を表すのに用いられている。以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。加えて、第3列では非形式的な定義を、第4列では単純な例を、第5列ではUnicodeにおける符号位置、第6列ではHTMLで用いられる実体参照、そして最終列ではLaTeXで使用可能なコマンドを記している。

基礎的な論理記号

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

⇒

実質含意

含む; もし〜ならば

命題論理, ハイティング代数

「

A \Rightarrow B

」は、

A

が偽または

B

が真であるときのみ、真となる。

「→」は「⇒」と同じ意味である。（またこの記号は関数の定義域と終集合を表す。詳しくは数学記号の表を見よ）

「⊃」も「⇒」と同じ意味である。（また上位集合も意味する）

x = 2 \Rightarrow x 2 = 4

は真である。ただし

x 2 = 4 \Rightarrow x = 2

は一般に偽である（ここで

x

は -2 の可能性もある）。

U+21D2

&#8658;

&rArr;

  
        ⇒
      
    {\displaystyle \Rightarrow }
  
 \Rightarrow

        ⟹
        
    {\displaystyle \implies }
  
 \implies

→

U+2192

&#8594;

&rarr;

  
        →
      
    {\displaystyle \to }
  
 \to

⊃

U+2283

&#8835;

&sup;

  
        ⊃
      
    {\displaystyle \supset }
  
 \supset

⇔

実質等値	〜のとき、かつそのときに限り; iff;	命題論理
「 $A \Leftrightarrow B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真、または共に偽のときのみ真となる。
$x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y$

U+21D4

&#8660;

&hArr;

  
        ⇔
      
    {\displaystyle \Leftrightarrow }
  
 \Leftrightarrow

        ⟺
        
    {\displaystyle \iff }
  
 \iff

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

↔

U+2194

&#8596;

&harr;

  
        ↔
      
    {\displaystyle \leftrightarrow }
  
 \leftrightarrow

¬

否定	〜ではない	命題論理
言明「 $\neg A$ 」は $A$ が偽のときのみ真となる。演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。
$\neg(\neg A) \Leftrightarrow A$ $x \neq y \Leftrightarrow \neg(x = y)$

U+00AC

&#172;

&not;

  
        ¬
      
    {\displaystyle \lnot }
  
 \lnot

        ¬
      
    {\displaystyle \neg }
  
 \neg

˜

U+02DC

&#732;

&tilde;

  
              ~
            
    {\displaystyle {\tilde {}}}
  
 \tilde{}

!

U+0021

&#33;

&excl;

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∧

論理積	かつ	命題論理、ブール代数
言明「 $A \land B$ 」は、 $A$ と $B$ が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
$n < 4 \land n > 2 \Leftrightarrow n = 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2227

&#8743;

&and;

  
        ∧
      
    {\displaystyle \land }
  
 \land

        ∧
      
    {\displaystyle \wedge }
  
 \wedge

·

U+00B7

&#183;

&middot;

  
        ⋅
      
    {\displaystyle \cdot }
  
 \cdot

&

U+0026

&#38;

&amp;

  
        &
      
    {\displaystyle \&}
  
 \&

∨

論理和	または	命題論理、ブール代数
言明「 $A \lor B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
$n \geq 4 \lor n \leq 2 \Leftrightarrow n \neq 3$ （ $n$ が自然数であるとき）

U+2228

&#8744;

&or;

  
        ∨
      
    {\displaystyle \lor }
  
 \lor

        ∨
      
    {\displaystyle \vee }
  
 \vee

+

U+002B

&#43;

-

∥

U+2225

&#8741;

-

  
        ∥
      
    {\displaystyle \parallel }
  
 \parallel

⊕

排他的論理和	xor	命題論理、ブール代数
言明「 $A \oplus B$ 」は、 $A$ または $B$ のいずれか（両方ではない）が真のとき、真となる。「 $A ⊻ B$ 」も意味は同じ。
$(\neg A) \oplus A$ は常に真である。 $A \oplus A$ は常に偽である。

U+2295

&#8853;

&oplus;

  
        ⊕
      
    {\displaystyle \oplus }
  
 \oplus

+

U+22BB

&#8891;

-

  
        ⊻
      
    {\displaystyle \veebar }
  
 \veebar

⊤

トートロジー	トップ	命題論理、ブール代数
言明「 $⊤$ 」は無条件に真である。
$A \Rightarrow ⊤$ は常に真。

U+22A4

&#8868;

-

  
        ⊤
      
    {\displaystyle \top }
  
 \top

T

U+0054

&#84;

-

1

U+0031

&#49;

-

⊥

矛盾	ボトム	命題論理、ブール代数
言明「 $⊥$ 」は無条件に偽である。
$⊥ \Rightarrow A$ は常に真。

U+22A5

&#8869;

-

  
        ⊥
      
    {\displaystyle \bot }
  
 \bot

F

U+0046

&#70;

-

0

U+0030

&#48;

-

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

∀

全称量化	すべての; 任意の; それぞれについて	一階述語論理
「 $\forall x : P (x)$ 」は、すべての $x$ について $P (x)$ が真であることを意味する。
$\forall n \in ℕ : n 2 \geq n$ .

U+2200

&#8704;

&forall;

  
        ∀
      
    {\displaystyle \forall }
  
 \forall

∃

存在量化	〜が存在する	一階述語論理
「 $\exists x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ が少なくとも1つは存在することを意味する。
$\exists n \in ℕ: n が偶数$ .

U+2203

&#8707;

&exist;

  
        ∃
      
    {\displaystyle \exists }
  
 \exists

∃!

唯一存在量化（英語版）	〜がただ1つ存在する	一階述語論理
「 $\exists! x : P (x)$ 」は、 $P (x)$ を満たす $x$ がただ1つ存在することを意味する。
$\exists! n \in ℕ: n + 5 = 2 n$ .

U+2203 U+0021

&#8707;&#33;

-

  
        ∃
        !
      
    {\displaystyle \exists !}
  
 \exists!

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

≔

定義	〜として定義される	全分野
「 $x ≔ y$ 」や「 $x \equiv y$ 」は、 $x$ は $y$ の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する）「 $P :\Leftrightarrow Q$ 」は、 $P$ が $Q$ と論理的に等価に定義されることを意味する。
$cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (- x))$ $A XOR B :\Leftrightarrow (A \lor B) \land \neg(A \land B)$

U+2254

&#8788;

-

  
                :
              
        =
      
    {\displaystyle {{\mathrel {\mathop {:} }}\!\!}=}
  
 \coloneqq[注釈 1]

≡

U+2261

&#8801;

&equiv;

  
        ≡
      
    {\displaystyle \equiv }
  
 \equiv

:⇔

U+003A U+229C

&#58;&#8860;

:&hArr;

  
        :⇔
      
    {\displaystyle :\Leftrightarrow }
  
 :\Leftrightarrow

( )

優先順位	括弧	全分野
括弧内の操作を優先して実行する。
$(8 \div 4) \div 2 = 2 \div 2 = 1$ , 一方で $8 \div (4 \div 2) = 8 \div 2 = 4$ .

U+0028 U+0029

&#40; &#41;

&exist;

  
        (
        )
      
    {\displaystyle ()}
  
 ()

⊢

ターンスタイル	〜を証明する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊢ y$ 」は $x$ から $y$ が証明させることを意味する。
$A \to B ⊢ \neg B \to \neg A$

U+22A2

&#8866;

-

  
        ⊢
      
    {\displaystyle \vdash }
  
 \vdash

⊨

ダブル・ターンスタイル（英語版）	〜を含意する	命題論理、一階述語論理
「 $x ⊨ y$ 」は $x$ は $y$ を含意することを意味する。
$A \to B ⊨ \neg B \to \neg A$

U+22A8

&#8872;

-

  
        ⊨
      
    {\displaystyle \vDash }
  
 \vDash

記号

名称 / 読み方 / 分野
説明
例

Unicode

文字参照

実体参照

LaTeXコマンド

その他の論理記号

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

U+00B7 · middle dot
U+22C5 ⋅ dot operator: 中点は論理積 AND を表す^[1]。 $A \cdot B$ は $A & B$ と等価。
$\cdot$: オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。 $A \cdot B$ は $\neg (A & B)$ と等価。
U+0305 ̅ combining overline: used as abbreviation for standard numerals (Typographical Number Theory). For example, using HTML style "4̅" is a shorthand for the standard numeral "SSSS0".
オーバーライン: 数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば $A \lor B$ は、論理式 $A \lor B$ のゲーデル数を意味する。; またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば $A \lor B$ は、 $\neg(A \lor B)$ と等価。
U+007C | vertical line
U+2191 ↑ upwards arrow: シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
U+2193 ↓ downwards arrow: パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。
U+2201 ∁ complement: 集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 $A$ について、その補集合は $\complement A$ と表される。
U+2204 ∄ there does not exist: 斜線の引かれた存在量化子は、 $\neg\exists$ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
U+2234 ∴ therefore: 「故に、従って (therefore)」を意味する。
U+2235 ∵ because: 「なぜならば (because)」を意味する。
U+22A7 ⊧ models: is a model of
U+22A8 ⊨ true: is true of
U+22AC ⊬ does not prove: negated ⊢, the sign for "does not prove", for example T ⊬ P says "P is not a theorem of T"
U+22AD ⊭ not true: is not true of
U+22BC ⊼ nand: NAND operator. In HTML, it can also be produced by <span style="text-decoration: overline">&and;</span>: ∧
U+22BD ⊽ nor: NOR operator. In HTML, it can also be produced by <span style="text-decoration: overline">&or;</span>: ∨
U+25C7 ◇ white diamond: modal operator for "it is possible that", "it is not necessarily not" or rarely "it is not provable not" (in most modal logics it is defined as "¬◻¬")
U+22C6 ⋆ star operator: usually used for ad-hoc operators
U+22A5 ⊥ up tack
U+2193 ↓ downwards arrow: Webb-operator or Peirce arrow, the sign for NOR. Confusingly, "⊥" is also the sign for contradiction or absurdity.
U+2310 ⌐ reversed not sign
U+231C ⌜ top left corner
U+231D ⌝ top right corner: corner quotes, also called "Quine quotes"; for quasi-quotation, i.e. quoting specific context of unspecified ("variable") expressions;^[2] also used for denoting Gödel number;^[3] for example "⌜G⌝" denotes the Gödel number of G. (Typographical note: although the quotes appears as a "pair" in unicode (231C and 231D), they are not symmetrical in some fonts. And in some fonts (for example Arial) they are only symmetrical in certain sizes. Alternatively the quotes can be rendered as ⌈ and ⌉ (U+2308 and U+2309) or by using a negation symbol and a reversed negation symbol ⌐ ¬ in superscript mode. )
U+25FB ◻ white medium square
U+25A1 □ white square: modal operator for "it is necessary that" (in modal logic), or "it is provable that" (in provability logic), or "it is obligatory that" (in deontic logic), or "it is believed that" (in doxastic logic); also as empty clause (alternatives: $\emptyset$ and ⊥).

Note that the following operators are rarely supported by natively installed fonts. If you wish to use these in a web page, you should always embed the necessary fonts so the page viewer can see the web page without having the necessary fonts installed in their computer.

U+27E1 ⟡ white concave-sided diamond
U+27E2 ⟢ white concave-sided diamond with leftwards tick: modal operator for was never
U+27E3 ⟣ white concave-sided diamond with rightwards tick: modal operator for will never be
U+27E4 ⟤ white square with leftwards tick: modal operator for was always
U+27E5 ⟥ white square with rightwards tick: modal operator for will always be
U+297D ⥽ right fish tail: sometimes used for "relation", also used for denoting various ad hoc relations (for example, for denoting "witnessing" in the context of Rosser's trick) The fish hook is also used as strict implication by C.I.Lewis $p$ ⥽ $q\equiv \Box (p\rightarrow q)$ , the corresponding LaTeX macro is \strictif. See here for an image of glyph. Added to Unicode 3.2.0.
U+2A07 ⨇ two logical and operator

注釈

^ mathtools パッケージの導入が必要

^ Brody, Baruch A. (1973), Logic: theoretical and applied, Prentice-Hall, p. 93, ISBN 9780135401460, "We turn now to the second of our connective symbols, the centered dot, which is called the conjunction sign."
^ Quine, W.V. (1981): Mathematical Logic, §6
^ Hintikka, Jaakko (1998), The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge University Press, p. 113, ISBN 9780521624985 .

[1] mathtools パッケージの導入が必要

[2] Brody, Baruch A. (1973), Logic: theoretical and applied, Prentice-Hall, p. 93, ISBN 9780135401460, "We turn now to the second of our connective symbols, the centered dot, which is called the conjunction sign."

[3] Quine, W.V. (1981): Mathematical Logic, §6

[4] Hintikka, Jaakko (1998), The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge University Press, p. 113, ISBN 9780521624985 .

[注釈 1]

[1]

[2]

[3]

@@ 449行目: / 449行目: @@
 |}
+== その他の論理記号 ==
-{|class="wikitable"
+以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。
-!A!!B!!C
-|-
+; {{Unichar|00B7|MIDDLE DOT}}
-|style="margin: 0; padding: 0;"|
+; {{Unichar|22C5|dot operator}}
-{|style="border-collapse:collapse; margin: 0; padding: 0;"
+: [[中黒|中点]]は[[論理積]] AND を表す<ref>{{citation|title=Logic: theoretical and applied|first=Baruch A.|last=Brody|publisher=Prentice-Hall|year=1973|isbn=9780135401460|page=93|quote=We turn now to the second of our connective symbols, the centered dot, which is called the conjunction sign.}}</ref>。{{math|''A'' &middot; ''B''}} は {{math|''A'' &amp; ''B''}} と等価。
-|-style="border-bottom:1px solid #a2a9b1; border-collapse:collapse; border-spacing:1px; "
+; {{math|{{overline|&middot;}}}}
-|あいう||えお
+: [[オーバーライン]]の引かれた中点は[[否定論理積]] NAND を表す。{{math|''A'' {{overline|&middot;}} ''B''}} は {{math|&not; (''A'' &amp; ''B'')}} と等価。
-|-
+; {{unichar|0305|COMBINING OVERLINE|nlink=overline|cwith=&nbsp;}}
-|かき||くけこ
+: used as abbreviation for standard numerals ([[Typographical Number Theory]]). For example, using HTML style "4&#x0305;" is a shorthand for the standard numeral "SSSS0".
-|}
+; オーバーライン
-|-
+: 数式の上に引かれたオーバーラインは、[[ゲーデル数]]を表すことがある。例えば {{math|{{overline|''A'' &or; ''B''}}}} は、論理式 {{math|''A'' &or; ''B''}} のゲーデル数を意味する。
-|Hello||World||...
+: またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば {{math|{{overline|''A'' &or; ''B''}}}} は、{{math|&not;(''A'' &or; ''B'')}} と等価。
-|}
+; {{Unichar|007C|VERTICAL LINE}}
+; {{Unichar|2191|UPWARDS ARROW}}
+: シェファーの棒記号 ({{En|Sheffer stroke}}) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
+; {{Unichar|2193|DOWNWARDS ARROW}}
+: パースの矢印 ({{En|Peirce arrow}}) とも呼ばれ、[[否定論理和]] NOR 演算子である。
+; {{Unichar|2201|Complement}}
+: 集合論において[[差集合#補集合|補集合]]を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 {{mvar|A}} について、その補集合は <math>\complement A</math> と表される。
+; {{Unichar|2204|THERE DOES NOT EXIST}}
+: [[スラッシュ (記号)|斜線]]の引かれた存在量化子は、{{math|&not;&exist;}} と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
+; {{Unichar|2234|Therefore|nlink=∴}}
+: 「故に、従って ({{En|therefore}})」を意味する。
+; {{Unichar|2235|Because|nlink=∵}}
+: 「なぜならば ({{En|because}})」を意味する。
+; {{unichar|22A7|Models}}
+: is a [[Model theory|model]] of
+; {{unichar|22A8|True}}
+: is true of
+; {{unichar|22AC|DOES NOT PROVE}}
+: negated ⊢, the sign for "does not prove", for example ''T'' ⊬ ''P'' says "''P'' is not a theorem of ''T''"
+; {{unichar|22AD|Not true}}
+: is not true of
+; {{unichar|22BC|NAND}}
+: NAND operator. In HTML, it can also be produced by <code>&lt;span style="text-decoration: overline"&gt;&amp;and;&lt;/span&gt;</code>: <span style="text-decoration: overline">&and;</span>
+; {{unichar|22BD|Nor}}
+: NOR operator. In HTML, it can also be produced by <code>&lt;span style="text-decoration: overline"&gt;&amp;or;&lt;/span&gt;</code>: <span style="text-decoration: overline">&or;</span>
+; {{unichar|25C7|WHITE DIAMOND}}
+: modal operator for "it is possible that", "it is not necessarily not" or rarely "it is not provable not" (in most modal logics it is defined as "¬◻¬")
+; {{unichar|22C6|STAR OPERATOR}}
+: usually used for ad-hoc operators
+; {{unichar|22A5|UP TACK}}
+; {{unichar|2193|DOWNWARDS ARROW}}
+: Webb-operator or Peirce arrow, the sign for [[Logical NOR|NOR]]. Confusingly, "⊥" is also the sign for contradiction or absurdity.
+; {{unichar|2310|REVERSED NOT SIGN}}
+; {{unichar|231C|TOP LEFT CORNER}}
+; {{unichar|231D|TOP RIGHT CORNER}}
+: corner quotes, also called "Quine quotes"; for quasi-quotation, i.e. quoting specific context of unspecified ("variable") expressions;<ref>[[Willard Van Orman Quine|Quine, W.V.]] (1981): ''Mathematical Logic'', §6</ref> also used for denoting [[Gödel number]];<ref>{{citation|title=The Principles of Mathematics Revisited|first=Jaakko|last=Hintikka|publisher=Cambridge University Press|year=1998|isbn=9780521624985|page=113|url=https://books.google.com/books?id=JHBnE0EQ6VgC&pg=PA113}}.</ref> for example "⌜G⌝" denotes the Gödel number of G.  (Typographical note: although the quotes appears as  a "pair" in unicode (231C and 231D), they are not symmetrical in some fonts. And in some fonts (for example Arial) they are only symmetrical in certain sizes.   Alternatively the quotes can be rendered as ⌈ and ⌉ (U+2308 and U+2309) or by using a negation symbol and a reversed negation symbol ⌐ ¬ in superscript mode. )
+; {{unichar|25FB|WHITE MEDIUM SQUARE}}
+; {{unichar|25A1|WHITE SQUARE}}
+: modal operator for "it is necessary that" (in [[modal logic]]), or "it is provable that" (in [[provability logic]]), or "it is obligatory that" (in [[deontic logic]]), or "it is believed that" (in [[doxastic logic]]); also as [[Clause (logic)#Empty clauses|empty clause]] (alternatives: <math>\empty</math> and ⊥).
+Note that the following operators are rarely supported by natively installed fonts.  If you wish to use these in a web page, you should always embed the necessary fonts so the page viewer can see the web page without having the necessary fonts installed in their computer.
+; {{unichar|27E1|WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND}}
+; {{unichar|27E2|WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH LEFTWARDS TICK}}
+: modal operator for was never
+; {{unichar|27E3|WHITE CONCAVE-SIDED DIAMOND WITH RIGHTWARDS TICK}}
+: modal operator for will never be
+; {{unichar|27E4|WHITE SQUARE WITH LEFTWARDS TICK}}
+: modal operator for was always
+; {{unichar|27E5|WHITE SQUARE WITH RIGHTWARDS TICK}}
+: modal operator for will always be
+; {{unichar|297D|RIGHT FISH TAIL}}
+: sometimes used for "relation", also used for denoting various ad hoc relations (for example, for denoting "witnessing" in the context of [[Rosser's trick]]) The fish hook is also used as strict implication by C.I.Lewis <math> p </math> &#x297D; <math> q \equiv \Box(p\rightarrow q)</math>, the corresponding LaTeX macro is \strictif.  [http://www.fileformat.info/info/unicode/char/297d/index.htm See here] for an image of glyph. Added to Unicode 3.2.0.
+; {{unichar|2A07|TWO LOGICAL AND OPERATOR}}
 ==注釈==