実効値

実効値（じっこうち, effective value, root mean square value, RMS)は、交流電圧又は電流の値の表現方法の一種である。交流電圧を抵抗負荷に加えた場合と、ある直流電圧を加えた場合とで交流電圧の1周期における平均電力が等しくなるときに、この交流電圧は先の直流電圧と同じ値の実効値をもつと定義される。交流電力の計算に使用される電圧・電流は普通は実効値で表される。

電気抵抗成分を R (Ω)、加える電圧の瞬時値を v(t) (V)、最大値（波高値と称する場合もある）を V_m (V)、実効値を V_e (V)、平均値を V_av (V)、流れる電流の瞬時値を i(t) (A)、最大値を I_m (A)、実効値を I_e (A)、平均値を I_av (A)、有効電力の瞬時値を P(t) (W)、平均値を P_R (W)、交流の角速度（角振動数または角周波数）を ω (rad/s)、周期を T とする。

正弦波交流の最大値との関係

有効電力の平均値は、電流と電圧の積の平均であるから電気抵抗と電流を使うと次のようになる。

$i(t)=I_{m}\sin \omega t$
$v(t)=RI_{m}\sin \omega t$
$P(t)=Ri(t)^{2}=R{I_{m}}^{2}\sin ^{2}\omega t=R{I_{m}}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)$

周期関数であるので、1周期にわたって積分し周期 T で割り平均電力を求める。

$P_{R}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}R{I_{m}}^{2}{\frac {1}{2}}\left(1-\cos 2\omega t\right)dt={\frac {R{I_{m}}^{2}}{2T}}\left[t-{\frac {1}{2\omega }}\sin 2\omega t\right]_{0}^{T}$

第二項は、ωT = 2π であるので、積分すると0となるので次のようになる。

$P_{R}=R\left({\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$

また、電圧で表すと次のようになる。ただし、V_m = R I_mとする。

$P_{R}={\frac {1}{R}}\left({\frac {V_{m}}{\sqrt {2}}}\right)^{2}$

よって、実効値と最大値の関係は次のようになる。

$V_{e}=V_{m}/{\sqrt {2}}$
$I_{e}=I_{m}/{\sqrt {2}}$

また、最大値/実効値を波高率という。

正弦波交流の平均値との関係

電流と電圧の平均は、周期関数であるので、半周期にわたって積分し半周期 T/2 で割り平均を求める。

$V_{av}={\frac {2V_{m}}{T}}\int _{0}^{T/2}\sin \omega tdt={\frac {2V_{m}}{\omega T}}\left[-\cos \omega t\right]_{0}^{T/2}$

ωT/2 = πであるので、次のようになる。

$V_{av}={\frac {2V_{m}}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}V_{e}}{\pi }}$

また、電流は次のようになる。

$I_{av}={\frac {2I_{m}}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}I_{e}}{\pi }}$

また、実効値/平均値を波形率という。

関連項目

• 二乗平均平方根
• 交流 / 三相交流 - 単相交流 - 交流回路
• 電力 - 有効電力・無効電力・皮相電力
• 電圧
• 電流