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2008年3月21日 (金) 13:03時点における版

カプレカ数（カプレカすう、Kaprekar Number）とは、

整数を2乗し、前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。
すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。

定義1

整数を2乗し、前のn桁と後ろのn桁または(n+1)桁に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる数のことである。

たとえば、297は、297² = 88209であるが、これを前の２桁88と後ろの３桁209に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、カプレカ数である。

この定義でのカプレカ数は、小さなほうから 1、9、45、55、99、297、703、999、2223、2728、4879、4950、5050、5292、7272、7777、9999、17344、22222、38962、77778、82656、95121、99999、142857、148149、181819、187110、208495、318682、、351352、356643、390313、461539、466830、499500、500500、533170 ……となる。

定義2

すべての桁が同じ値ではない（いくつかの桁は同じ値でもよい）整数を、桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取り、この操作を繰り返したときにある一定の値になる数のことである。

この定義において、4桁のカプレカ数は6174である。最初の数として2005を取ったとき、

5200 - 0025 = 5175
7551 - 1557 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174

となり、6174に収束する。どのような4桁の数でも最終的に6174になることが確認されている。同様に3桁で最初に 685を使った場合、 893を使った場合、

865 - 568 = 297　 983 - 389 = 594
972 - 279 = 693　 954 - 459 = 495
963 - 369 = 594　 954 - 459 = 495
954 - 459 = 495　
954 - 459 = 495

となり、495である。ちなみにこの定義でのカプレカ数は全て9の倍数である。（証明は容易【ヒント:mod9で考えること】）

外部サイト

MathWorld -- Kaprekar Number 第1の定義によるカプレカ数
カプレカ数第2の定義によるカプレカ数

@@ 9行目: / 9行目: @@
 たとえば、[[297]]は、297<sup>2</sup> = 88209であるが、これを前の２桁88と後ろの３桁209に分けて足すと、88 + 209 = 297 となるので、カプレカ数である。
-この定義でのカプレカ数は、小さなほうから [[1]]、[[9]]、[[45]]、[[55]]、[[99]]、[[297]]、[[703]]、[[999]]、[[2223]]、[[2728]]、[[4879]]、[[4950]]、[[5050]]、[[5292]]、……となる。
+この定義でのカプレカ数は、小さなほうから [[1]]、[[9]]、[[45]]、[[55]]、[[99]]、[[297]]、[[703]]、[[999]]、[[2223]]、[[2728]]、[[4879]]、[[4950]]、[[5050]]、[[5292]]、7272、7777、9999、17344、22222、38962、77778、82656、95121、99999、142857、148149、181819、187110、208495、318682、、351352、356643、390313、461539、466830、499500、500500、533170 ……となる。
 ==定義2==