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'''ド・モアブルの定理'''(ド・モアブルの-ていり)あるいは'''ド・モアブルの公式'''(ド・モアブルの-こうしき)とは整数 <math>n</math> に対して、 |
'''ド・モアブルの定理'''(ド・モアブルの-ていり)あるいは'''ド・モアブルの公式'''(ド・モアブルの-こうしき)とは整数 <math>n</math> に対して、 |
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(\cos \theta + i \sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i \sin n \theta |
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ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる ''n'' を[[自然数]]とするとき、左辺の[[冪乗]]を展開して実部・虚部を比較することで、''n'' 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の ''n'' 倍角の公式を内在的に含んでいる。 |
ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる ''n'' を[[自然数]]とするとき、左辺の[[冪乗]]を展開して実部・虚部を比較することで、''n'' 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の ''n'' 倍角の公式を内在的に含んでいる。 |
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[[オイラーの公式]]によれば、この定理は複素変数の[[指数関数]]に関する指数法則(の一部) |
[[オイラーの公式]]によれば、この定理は複素変数の[[指数関数]]に関する指数法則(の一部) |
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: exp(''i''θ)<sup>''n''</sup> = exp(''in''θ) (θ ∈ '''R''', ''n''∈ '''Z''') |
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の成立を意味するものである。 |
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<b>1</b>. まずは、''n'' が( 0 を含む)[[自然数]]であるときに、[[数学的帰納法]]を用いて定理の成立を示す。 |
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[i] <math>n = 0</math> のとき |
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:(左辺)= <math> |
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(\cos \theta + i \sin \theta)^{0} = 1 |
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:(右辺)= <math> |
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\cos 0 + i \sin 0 = 1 |
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よって <math>n = 0</math> のとき成立。 |
よって <math>n = 0</math> のとき成立。 |
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[ii] <math>n = k</math> のとき |
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(\cos \theta + i \sin \theta)^{k} = \cos k \theta + i \sin k \theta |
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が成り立つならば、 |
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ここで[[三角関数#加法定理|加法定理]]より、 |
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:<math>\cos k \theta \cdot \cos \theta - \sin k \theta \cdot \sin \theta = \cos(k\theta + \theta)</math> |
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であるから、結局 |
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となり、<math>n = k + 1</math>のときも定理は成立する。 |
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よって、[i], [ii] からすべての[[自然数]] <math>n</math> に対してド・モアブルの定理が成り立つ。 |
よって、[i], [ii] からすべての[[自然数]] <math>n</math> に対してド・モアブルの定理が成り立つ。 |
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<b>2</b>. 続いて、''n'' が[[負の整数]]の場合を、既に示した ''n'' が自然数の場合を利用して証明する。 |
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<math>n < 0</math> のとき、<math>n=-m</math> となる自然数 ''m'' をとると、1 より ''m'' に対しては定理の等式が成立するから、 |
<math>n < 0</math> のとき、<math>n=-m</math> となる自然数 ''m'' をとると、1 より ''m'' に対しては定理の等式が成立するから、 |
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(\cos \theta + i \sin \theta)^{-m} |
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= { 1 \over {(\cos \theta + i \sin \theta)^{m}}} |
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={{ \cos m \theta - i \sin m \theta} \over {(\cos m \theta + i \sin m \theta) ( \cos m \theta - i \sin m \theta )}} |
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であり、また、 |
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: <math>\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) = \cos m \theta - i \sin m \theta</math> |
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であるから、<math>n < 0</math> のときも成り立つ。 |
であるから、<math>n < 0</math> のときも成り立つ。 |
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以上からド・モアブルの定理は任意の整数 ''n'' について成り立つことが示された。 |
以上からド・モアブルの定理は任意の整数 ''n'' について成り立つことが示された。 |
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==関連項目== |
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*[[複素数]] |
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*[[三角関数]] |
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[[Category:解析学|ともあふるのていり]] |
[[Category:解析学|ともあふるのていり]] |
2007年1月13日 (土) 11:20時点における版
ド・モアブルの定理(ド・モアブルの-ていり)あるいはド・モアブルの公式(ド・モアブルの-こうしき)とは整数 に対して、
が成り立つという複素数に関する定理。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルに因む。証明には三角関数の加法定理が利用される。
ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる n を自然数とするとき、左辺の冪乗を展開して実部・虚部を比較することで、n 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。
オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則(の一部)
- exp(iθ)n = exp(inθ) (θ ∈ R, n∈ Z)
の成立を意味するものである。
証明
1. まずは、n が( 0 を含む)自然数であるときに、数学的帰納法を用いて定理の成立を示す。
[i] のとき
- (左辺)= 。
- (右辺)= 。
よって のとき成立。
[ii] のとき
が成り立つならば、
ここで加法定理より、
であるから、結局
となり、のときも定理は成立する。
よって、[i], [ii] からすべての自然数 に対してド・モアブルの定理が成り立つ。
2. 続いて、n が負の整数の場合を、既に示した n が自然数の場合を利用して証明する。
のとき、 となる自然数 m をとると、1 より m に対しては定理の等式が成立するから、
であり、また、
であるから、 のときも成り立つ。
以上からド・モアブルの定理は任意の整数 n について成り立つことが示された。