ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（ド・モアブルの-ていり）あるいはド・モアブルの公式（ド・モアブルの-こうしき）とは整数 $n$ に対して、

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

が成り立つという複素数に関する定理。定理の名称はアブラーム・ド・モアブルにちなむ。証明には三角関数の加法定理が利用される。

ひとたびド・モアブルの定理が証明され、それが既知であるならば、定理の等式に現れる n を自然数とするとき、左辺の冪乗を展開して実部・虚部を比較することで、n 倍角の公式を導出することができる。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式によれば、この定理は複素変数の指数関数に関する指数法則（の一部）

$exp(i\theta )^{n}=exp(in\theta )(\theta \in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {Z} )$

の成立を意味するものである。

証明

1. まずは、n が（ 0 を含む）自然数であるときに、数学的帰納法を用いて定理の成立を示す。

[i] $n=0$ のとき

（左辺）= $(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1$.

（右辺）= $\cos 0+i\sin 0=1$.

よって $n=0$ のとき成立。

[ii] $n=k$ のとき

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta$

が成り立つならば、

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}$

$=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}(\cos \theta +i\sin \theta )$

$=(\cos k\theta +i\sin k\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )$

$=\cos k\theta \cdot \cos \theta +\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta$

$=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )$

ここで加法定理より、

$\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta =\cos(k\theta +\theta )$

$\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta =\sin(k\theta +\theta )$

であるから、結局

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}=\cos((k+1)\theta )+i\sin((k+1)\theta )$

となり、$n=k+1$のときも定理は成立する。

よって、[i], [ii] からすべての自然数 $n$ に対してド・モアブルの定理が成り立つ。

2. 続いて、n が負の整数の場合を、既に示した n が自然数の場合を利用して証明する。

$n<0$ のとき、$n=-m$ となる自然数 m をとると、1 より m に対しては定理の等式が成立するから、

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}$

$={1 \over {(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}$

$={1 \over {\cos m\theta +i\sin m\theta }}$

$={{\cos m\theta -i\sin m\theta } \over {(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}$

$=\cos m\theta -i\sin m\theta$

であり、また、

$\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )=\cos m\theta -i\sin m\theta$

であるから、$n<0$ のときも成り立つ。

以上からド・モアブルの定理は任意の整数 n について成り立つことが示された。

関連項目

• 複素数
• 三角関数