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双対ハーン多項式(そうついはーんたこうしき、英語: dual Hahn polynomials)は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる[1]。
双対ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:
![{\displaystyle R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93307e0e1cbe0698da063193eab1f4f9f37a0fd8)
但し、
とした。
直交関係[編集]
または
に対して以下の直交関係を満たす:
![{\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\frac {(2x+\gamma +\delta +1)(\gamma +1)_{x}(-N)_{x}N!}{(-1)^{x}(x+\gamma +\delta +1)_{N+1}(\delta +1)_{x}N!}}R_{m}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)={\frac {\delta _{mn}}{{\binom {\gamma +N}{n}}{\binom {\delta +N-n}{N-n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cad92de9e8f8d0074cde2c54c40c0a525b4401)
但し、
はポッホハマーの記号を表す。
漸化式[編集]
以下の漸化式が成り立つ。
![{\displaystyle \lambda (x)R_{n}(\lambda (x))=A_{n}R_{n+1}(\lambda (x))-(A_{n}+C_{n})R_{n}(\lambda (x))+C_{n}R_{n-1}(\lambda (x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3208de67bf87a43a0b02a2eb289cb61a21f8b4)
但し、
を
と略記し、
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=(n+\gamma +1)(n-N),\\C_{n}&=n(n-\delta -N-1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdcfd6a265e0ac2525eb1dbd2b0678e604c3f70)
とした。
差分方程式[編集]
次の差分方程式を満たす:
![{\displaystyle -nR_{n}(\lambda (x))=B(x)R_{n}(\lambda (x+1))-(B(x)+D(x))R_{n}(\lambda (x))+D(x)R_{n}(\lambda (x-1)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fb012f4afa8feca6570594fb1e9e8943cc7177)
但し、
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&={\frac {(x+\gamma +1)(x+\gamma +\delta +1)(N-x)}{(2x+\gamma +\delta +1)(2x+\gamma +\delta +2)}},\\D(x)&={\frac {x(x+\gamma +\delta +N+1)(x+\delta )}{(2x+\gamma +\delta )(2x+\gamma +\delta +1)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cc90990d1cd280e6d5eb38f81152853a58f9b1)
ロドリゲスの公式に相当するもの[編集]
ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:
n
母関数[編集]
以下の母関数を持つ:
![{\displaystyle (1-t)^{N-x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x,-x-\delta \\\gamma +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905d06bb828c14481e04daade89ff7301c3ab700)
![{\displaystyle (1-t)^{x}{_{2}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\gamma +1\\-\delta -N\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\gamma +1)_{n}(-N)_{n}}{(-\delta -N)_{n}n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932b1b27567d8d37f7c254a23184d62357f4d9ce)
![{\displaystyle \left[e^{t}{_{2}F_{2}}\left({\begin{matrix}-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};-t\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2737d0f00c1a8f96cabce20848acaf671b1890)
![{\displaystyle \left[(1-t)^{\epsilon }{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}\epsilon ,-x,x+\gamma +\delta +1\\\gamma +1,-N\end{matrix}};{\frac {t}{t-1}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\epsilon )_{n}}{n!}}R_{n}(\lambda (x);\gamma ,\delta ,N)t^{n}\quad (\forall \epsilon \in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185278aa089b7a86ed68a4b421df8156299d705e)
ハーン多項式との関係[編集]
変数
と
を交換することによってハーン多項式
が得られる:
![{\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\gamma ,\delta ,N)=Q_{n}(x;\gamma ,\delta ,N).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d29bf774c0ef0f66bd71cfeb898e74b5710ed95)
参考文献[編集]