出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
この記事は検証可能 な参考文献や出典 が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加 して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方 ) 出典検索? : "一様コーシー列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2023年3月 )
数学 において、ある集合 S から距離空間 M への函数 列
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
が一様コーシー (いちようコーシー、英 : uniformly Cauchy )であるとは、次が成立することをいう:
すべての
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
に対して、ある
N
>
0
{\displaystyle N>0}
が存在し、
m
,
n
>
N
{\displaystyle m,n>N}
であるならばすべての
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
に対して
d
(
f
n
(
x
)
,
f
m
(
x
)
)
<
ε
{\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }
が成立する。
また別の表現として、
m
,
n
→
∞
{\displaystyle m,n\to \infty }
に対して
d
u
(
f
n
,
f
m
)
→
0
{\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0}
というものがある。ここで
d
u
{\displaystyle d_{u}}
は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される:
d
u
(
f
,
g
)
:=
sup
x
∈
S
d
(
f
(
x
)
,
g
(
x
)
)
.
{\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}
収束条件 [ 編集 ]
S から M への函数列 {f n } が「各点毎に」コーシーであるとは、各 x ∈ S に対して列 {f n (x )} が M 内のコーシー列 であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。
一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M が完備 であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束 する。
一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間 であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ:
S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 f n : S → M からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : S → M に一様収束する。
一様空間への一般化 [ 編集 ]
ある集合 S から距離空間 U への函数列
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}}
が一様コーシー であるとは、次が成り立つことをいう:
すべての
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
と任意の近縁
ε
{\displaystyle \varepsilon }
に対して、ある
N
>
0
{\displaystyle N>0}
が存在し、
m
,
n
>
N
{\displaystyle m,n>N}
であるなら
d
(
f
n
(
x
)
,
f
m
(
x
)
)
<
ε
{\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon }
が常に成り立つ。
関連項目 [ 編集 ]