ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， Ramanujan (1916) によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 τ: N → Z である：

$\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),$

ただし Im z > 0 なる z に対し q = exp(2πiz) であり，η はデデキントのイータ関数であり，関数 Δ(z) はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．イアン・G・マクドナルド (Ian G. Macdonald) による公式が Dyson (1972) において与えられた．

対数スケールでの n < 16,000 に対する |τ(n)| の値．青い線は 121 の倍数であるような n の値だけを拾い出している．

値

タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典の数列 A000594）：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
τ(n)	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

ラマヌジャン予想

Ramanujan (1916) は τ(n) の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった：

• τ(mn) = τ(m)τ(n) が gcd(m, n) = 1 のとき成り立つ（つまり τ は乗法的関数である）．
• τ(p^{r + 1}) = τ(p)τ(p^r) − p¹¹τ(p^{r − 1}) が p が素数で r > 0 のとき成り立つ．
• |τ(p)| ≤ 2p^11/2 がすべての素数 p に対して成り立つ．

最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．

タウ関数の合同関係

k ∈ Z と n ∈ Z_>0 に対して，σ_k(n) を n の約数の k 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが σ_k(n) を用いて表せる．いくつかを挙げる：

1. $\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8$
2. $\tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8$
3. $\tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8$
4. $\tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8$
5. $\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3$
6. $\tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3$
7. $\tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5$
8. $\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7$
9. $\tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7$
10. $\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.$

素数 p ≠ 23 に対して，次が成り立つ：

11. $\tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1$
12. $\tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}$
13. $\tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.$

τ(n) に関する予想

f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a(n) は整数であるとする．次の問題を考える： f が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 p は $a(p)\neq 0{\bmod {p}}$ という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり，p と互いに素な n に対して a(n) mod p が決定されたが，a(p) mod p の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 p に対して a(p) = 0 でありしたがって 0 mod p であることを保証する．無限個の素数 p に対して a(p) ≠ 0 mod p なるウェイト > 2 の虚数乗法を持たない f の例は知られていない（ほとんどすべての p に対しては正しいのであるが）．無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるような例もまた知られていない．本当に無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト 12 の）ラマヌジャンの τ(p) を挙げた．τ(p) = 0 mod p であることが分かっている最大の p は p = 7758337633 である．方程式 τ(p) ≡ 0 mod p の解は 10¹⁰ まででは p = 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633 のみである．

Lehmer (1947) はすべての n に対して τ(n) ≠ 0 であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは n < 214928639999 に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの n について成り立つかの進展をまとめたものである．

n	文献
3316799	Lehmer (1947)
214928639999	Lehmer (1949)
1015	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998	Jennings (1993)
22689242781695999	Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999	Bosman (2007)
982149821766199295999	Zeng and Yin (2013)
816212624008487344127999	Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)

参考文献

• Apostol, T. M. (1997), “Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed. 
• Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) 
• Dyson, F. J. (1972), “Missed opportunities”, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (5): 635-652, doi:10.1090/S0002-9904-1972-12971-9, Zbl 0271.01005 
• Kolberg, O. (1962), “Congruences for Ramanujan's function τ(n)”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR0158873, Zbl 0168.29502 
• Lehmer, D.H. (1947), “The vanishing of Ramanujan’s function τ(n)”, Duke Math. J. 14: 429–433, doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1, Zbl 0029.34502 
• Lygeros, N. (2010), “A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)”, Journal of Integer Sequences 13: Article 10.7.4, http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf 
• Mordell, Louis J. (1917), “On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19: 117–124, JFM 46.0605.01, https://archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 
• Newman, M. (1972), “A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards. 
• Rankin, Robert A. (1988), “Ramanujan's tau-function and its generalizations”, in Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1, MR938968, https://books.google.co.jp/books?id=GJUEAQAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja 
• Ramanujan, Srinivasa (1916), “On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184, MR2280861 
• Serre, J-P. (1968), “Une interprétation des congruences relatives à la fonction $\tau$ de Ramanujan”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14, http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A13_0 
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), “On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, Lecture Notes in Mathematics, 350, pp. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1, MR0406931, http://www.springerlink.com/content/978-3-540-06483-1 
• Wilton, J. R. (1930), “Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)”, Proceedings of the London Mathematical Society 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1