デデキントのイータ関数

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デデキントのイータ関数 (: Dedekind Eta function) は次式で定義される関数である[1]

ヤコビの三重積の公式により、

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点[編集]

であればであるから、

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係[編集]

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

である。また、

である。

モジュラー変換[編集]

テータ関数虚数変換式により

であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

である。また、

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

出典[編集]

  1. ^ Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function