Smoothed Particle Hydrodynamics

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Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH、SPH法)は主に流体計算に用いられる微分方程式の数値解析手法の一つ。対象とする物体を有限個の粒子によって表現し、ラグランジュ的に粒子を移動させながら解析する粒子法(またはメッシュフリー粒子法)に分類される。SPHでは、近傍粒子上の関数値の重み付き平均によって補間関数を定義する。この補間関数を近似関数として微分方程式に直接代入、もしくは独自に定義された微分作用素の近似を微分方程式に適用することによって近似方程式が得られる。SPHは単純な近似によって空間のメッシュ分割を用いないメッシュフリー近似を実現できることから、物体の大規模な変形を有するような問題に適しており、天体物理学構造力学(主に破壊や亀裂進展など)、流体力学など多くの分野で利用されている。しかし、その計算精度や境界条件の扱い方など、十分に確立されていない部分も多い手法でもある。

歴史[編集]

SPHは1977年のGingoldとMonaghanによる天体物理のシミュレーションに関する論文[1]が起源とされており、手法の名前もこの論文が元となっている。しかし、この論文の謝辞でも述べているようにSPHの離散化はLucyのアイディアであり、Lucyも同年に少し遅れて同様の離散化を用いた論文を公開している[2]

空間離散化[編集]

 SPHの空間離散化では、まず、次のような条件を満たす重み関数 を導入する:

この重み関数 を用いて、関数

と積分式で近似する。ここに、 は考える物体の領域である。次に、 内に 個( は有限)の粒子 を配置し、関数 内での積分を

と近似する。ここに、 はそれぞれ、粒子 が代表する質量と密度である。(3)、(4)を用いて、関数 に対するSPHの近似関数を

と定義する。

 勾配作用素 (1階の微分作用素)に対する近似は、近似関数 を微分して

と定義される。また、

と積分式で近似できることから、(4)の近似を用いて

とも定義される。

 拡散を表す微分作用素であるラプラシアン は、

と近似できることから、(4)の近似を用いて、ラプラシアンの近似を

と定義する。

 微圧縮性流体のSPH(Weakly compressible SPH)の場合、エネルギー保存の考察により、次のような近似作用素が用いられる。連続の式に現れる ( は流速)は

と定義され、運動方程式に現れる圧力勾配項 ( は圧力)は

と定義される。 また、拡散率が場によって異なる場合の拡散 ( は場の拡散率を表す関数)に対する近似は

または、

と定義される[3]

Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH)[編集]

Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH、ISPH法)非圧縮性流れの支配方程式であるナビエ–ストークス方程式に対する離散化手法で、空間離散化にSPHの空間離散化を適用し、さらに時間積分に多段法の1つである射影法を適用した手法である。ナビエ–ストークス方程式の時間積分に射影法を適用するというアイディアは、差分法などでは古くから行われているが、粒子法の場合は1996年のMoving Particle Semi-implicit (MPS、MPS法)[4]が最初とされている。その後、同様のアイディアでSPHの空間離散化を適用したISPHが開発された[5]

関連項目[編集]

注釈[編集]

参考文献[編集]

  • R.A., Gingold; J.J. Monaghan (1977), “Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars”, Mon. Not. R. Astron. Soc. 181: 375–389 
  • L.B., Lucy (1977), “A numerical approach to the testing of the fission hypothesis”, Astron. J. 82: 1013–1024 
  • J.P., Morris; P. J. Fox, and Y. Zhu (1997), “Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH”, J. Comput. Phys, 136: 214-226 
  • S., Koshizuka; Y. Oka (1996), “Moving-particle semi-implicit method for fragmentation of incompressible fluid”, Nuclear Sci. Eng. 123: 421-434 
  • S.J., Cummins; M. Rudman (1999), “An SPH projection method”, J. Comput. Phys. 152: 584-607