射影法

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射影法(しゃえいほう、英語: projection method)とは、非圧縮性流れの問題を時間発展的に解く数値解法のひとつである。投影法(とうえいほう)とも言う。

1967年アレクサンダー・コリン英語: Alexandre Chorin)によって、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式を解くために導入された [1] [2]。 この方法は、流速場と圧力場を分離して計算するという特徴を持つ。

通常、計算は2段階に分けられ実行される。 第一段階では、流速を非圧縮性を保たない状態(流速の発散が非ゼロ)のまま計算し、仮の流速を得る。そして第二段階で、速度の発散がゼロとなる(divergence-free)ベクトル場にその仮の流速を射影し、圧力と流速の更新量を得て計算される。

ヘルムホルツ・ホッジ分解[編集]

射影法での計算では、流速場を管状ベクトル場英語: Solenoidal vector field)と渦なし場英語: irrotational field)に分解するヘルムホルツ・ホッジ分解を用いる。

ヘルムホルツ・ホッジ分解とは、オルガ・ラディツェンスカヤ英語: Olga Ladyzhenskaya)による、単連結空間に存在するベクトル場は、発散がゼロとなる(divergence-free)場と渦なし場に分解することができるという定理およびその手法である[3]

つまり、

となり、ここでである。 またはスカラー場である(任意のスカラー場は必ずを満たすのでこの置換が成立する)。

よって両辺の発散をとると

という、に関するポアソン方程式の問題に帰着できる。

ここでもしベクトル場が既知であれば、上記の方程式はについて解くことができる。そうすると、元のヘルムホルツ・ホッジ分解の式から、発散ゼロ場が

と求めることができるのである。

このようにして非圧縮性ナビエ・ストークス方程式を解く方法が、射影法の概略である。

コリンの射影法[編集]

非圧縮性ナビエストークス方程式(運動量保存則の微分形)は以下のように表記される。

コリンの原論文では、この運動量式に仮の流速を導入し、圧力勾配項とそれ以外に分離する。

つまり

となるような仮の流速を選ぶ。ここで上付きのは、時刻nでの物理量を表す。

こうすると、まず第一段階として、運動量式から圧力勾配項を無視した(1)式を変形して

から仮の流速を求めることができる。

そして、第二段階で、この仮の流速場に、(2)式を射影して、仮の流速を最終的な解である次の時刻の流速を以下の式から得る。

ここで用いられている手法は、演算子分割法英語: operator splitting)の一種であり、つまり第一段階の粘性と第二段階の圧力項を分離していることと等価である。

この第二段階で時刻n+1での流速を計算するためには、右辺第2項で時刻n+1での圧力を必要とする。ここで、この式の両辺の発散を取れば、左辺はとなり、よって

というポアソン方程式から、時刻n+1の圧力を得ることができる。

その他の射影法[編集]

典型的な射影法では、その多くは、先述のように計算は以下のように多段分割される。

  1. まず、計算の中間段階として、上記の質量および運動量の輸送方程式を最適な移流法によって求める。この段階を予測子(よそくし)段階と呼ぶ。
  2. この時点で、中間段階の流速を強制的に発散なし場に射影する。
  3. そして、その射影した場で流速や密度などを計算し、最終段階に備える。この段階を修正子(しゅうせいし)段階と呼ぶ。
  4. 最終的に、修正された場に射影すると、流速場の発散が抑制されるようになっている。こうして、1回の計算は完了し、新しい時刻の物理量を求めることができる。

参考文献[編集]

  1. ^ Chorin, A. J. (1967), “The numerical solution of the Navier-Stokes equations for an incompressible fluid”, Bull. Am. Math. Soc. 73: 928–931, http://math.berkeley.edu/~chorin/chorin67.pdf 
  2. ^ Chorin, A. J. (1968), “Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations”, Math. Comp. 22: 745–762, doi:10.1090/s0025-5718-1968-0242392-2 
  3. ^ Chorin, A. J.; J. E. Marsden (1993). A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97918-2.