出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
この記事は検証可能 な参考文献や出典 が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加 して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方 ） 出典検索? "Arg max" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2014年12月
例として、正規化および非正規化基正弦函数 sinc arg max = {0} を満たす。実際、両函数は x = 01 を達成する。他方、非正規基正弦函数（赤）は約 x = ±4.49−0.217 を取るから、arg min ≈ {−4.49, 4.49} である。しかし正規化基正弦函数（青）は、最小値は同じく約 −0.217 だが、arg min ≈ {−1.43, 1.43} である。[1] 数学 において、最大値を与える引数 あるいは最大点集合 (argument of the maximum ) は関数がその最大値をとる定義域 の元全体の成す集合である[note 1] arg max (もしくは argmax ) と書かれる。最大値 が函数の出力のうち最も大きいものを指すのと対照に、最大点は最大値を出力する入力の値を指す。
最大点集合は一般に複数の元を含むが、それは有限集合であることも無限集合であることも起こり得るし、空 となることもあり得る。
最大点作用素
関数 f に対する最大点作用素 arg max は
a
r
g
m
a
x
x
:
P
(
x
)
f
(
x
)
:=
{
x
∣
x
(
P
(
x
)
)
,
∀
y
(
f
(
y
)
≤
f
(
x
)
)
}
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\colon P(x)}f(x):=\{x\mid x(P(x)),\,\forall y(f(y)\leq f(x))\}}
P は最大をとる範囲に入るために x が満たすべき条件) で定義される。即ちその値は f (x )x 全体の成す集合 である。
同じこと だが、f の最大値 M が既知であるならば、arg max を最大値に対する等位集合 （最大値 M の引き戻し ）
a
r
g
m
a
x
x
f
(
x
)
=
{
x
∣
f
(
x
)
=
M
}
=:
f
−
1
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x}f(x)=\{x\mid f(x)=M\}=:f^{-1}(M)}
最小点作用素
最小値を与える引数、最小点集合 arg min argmin arg min x f (x )f (x )x 全体の成す集合である。もちろん、最小値作用素 min に対を成す。
最大値作用素との比較
最大点作用素は、与えられた関数に対してその最大値を返す最大値作用素 max と自然に対を成すものである（最大値作用素は最大値を達成する点ではなくて最大値自体を返す。すなわち
max
x
f
(
x
)
∈
{
f
(
x
)
∣
∀
y
:
f
(
y
)
≤
f
(
x
)
}
{\displaystyle \max _{x}f(x)\in \{f(x)\mid \forall y:f(y)\leq f(x)\}}
最大点集合は空 となることも、一つの元からなることも、多数の元を含むことも起こり得る。例えば f (x ) = 1 − |x | (−1 ≤ x ≤ 1)1 を達成するのは x = 0
a
r
g
m
a
x
−
1
≤
x
≤
1
(
1
−
|
x
|
)
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{-1\leq x\leq 1}(1-|x|)=\{0\}}
が成り立つ。最大点がただ一つの場合はしばしば単集合 でなく値そのものを返すものと扱われる。例えば、
a
r
g
m
a
x
x
(
1
−
|
x
|
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x}(1-|x|)=0}
a
r
g
m
a
x
x
∈
R
(
x
(
10
−
x
)
)
=
5
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\in \mathbb {R} }(x(10-x))=5}
しかし複数の点で最大値を取る場合は集合 が返ることを忘れてはならない。例えば、
a
r
g
m
a
x
x
∈
[
0
,
4
π
]
cos
(
x
)
=
{
0
,
2
π
,
4
π
}
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\in [0,4\pi ]}\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}
a
r
g
m
a
x
x
∈
R
cos
(
x
)
=
{
0
,
2
π
,
−
2
π
,
4
π
,
…
}
=
{
2
n
π
∣
n
∈
Z
}
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{0,2\pi ,-2\pi ,4\pi ,\dots \}=\{2n\pi \mid n\in \mathbb {Z} \}}
一般には関数が最大値を有するとは限らないので、arg max は空集合 を返し得る: 例えば、
a
r
g
m
a
x
x
∈
R
x
3
=
∅
{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\in \mathbb {R} }x^{3}=\emptyset }
x 3 R 但し、最大値・最小値の定理 によって(もしくはコンパクト空間 の基礎的な定理によって)、コンパクト集合 上連続な関数については arg max が空でないことが保証される[2]
^ 混同を避けるため、臨界点 と臨界値 （英語版 ） x のことは「点」、出力 y のことは「値」と呼び分けることは便利である。
関連項目 [ 編集 ] 参考文献 [ 編集 ] 外部リンク [ 編集 ] 
![{\displaystyle \operatorname {arg\,max} \limits _{x\in [0,4\pi ]}\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27281379e80013835859e3957708b5ec2700b81)
