arg max

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例として、正規化および非正規化基正弦函数 sinc はともに arg max = {0} を満たす。実際、両函数は x = 0 のみにおいて最大値 1 を達成する。他方、非正規基正弦函数(赤)は約 x = ±4.49 において二度、最小値約 −0.217 を取るから、arg min ≈ {−4.49, 4.49} である。しかし正規化基正弦函数(青)は、最小値は同じく約 −0.217 だが、arg min ≈ {−1.43, 1.43} である。[1]

数学において、最大値を与える引数あるいは最大値点集合 (argument of the maximum) は関数がその最大値をとる定義域の元全体の成す集合である[note 1]。省略してarg max (もしくは argmax) と書かれる。最大値が函数の出力のうち最も大きいものを指すのと対照に、最大値点は最大値を出力する入力の値を指す。

定義[編集]

函数 f に対する最大値点作用素 arg max

\operatorname*{arg\,max}_x  f(x) := \{x \mid \forall y : f(y) \le f(x)\}

で定義される。即ちその値は f(x) がその最大値を達成する点 x 全体の成す集合である。この集合はとなることも、一つの元からなることも、多数の元を含むことも起こり得る。例えば f(x) = 1 − |x|とすれば、最大値 1 を達成するのは x = 0 ただ一つであるから

\operatorname*{arg\,max}_x (1-|x|) = \{0\}

が成り立つ。最大値点作用素は、与えられた函数に対してその最大値を返す最大値作用素 max と自然に対を成すものである(最大値作用素は最大値を達成する点ではなくて最大値自体を返す。すなわち

\max_x f(x)\in \{f(x) \mid  \forall y : f(y) \le f(x)\}

である。この集合は空集合(最大値は定義されない)となることも、ただ一つの元からなることもあるが、複数の元を持つことは無い)。

同じことだが、f の最大値 M が既知であるならば、arg max を最大値に対する等位集合(最大値 M引き戻し)として

\operatorname*{arg\,max}_x \, f(x) = \{ x \mid f(x) = M \} =: f^{-1}(M)

定義できる。

注意[編集]

最大値を取るのが一点の場合は{0}のように単集合を指すのではなく、値そのものを指すことが多い。

\operatorname*{arg\,max}_x (1-|x|) = 0
\operatorname*{arg\,max}_{x\in \Bbb{R}} (x(10-x)) = 5

複数の点で最大値を取る場合は集合で表す。

\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}

\underset{x \in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots \} = \{2n\pi \mid n \in \Bbb{Z}\}

一般に関数が最大値を有するとは限らないので、arg maxも定義できるとは限らない。但し、最大値・最小値の定理によって(もしくはコンパクト空間の基礎的な定理によって)、コンパクト区間においては連続な関数について最大値が存在し、arg maxも定義できることが保証される[2]

最小値点[編集]

最小値を与える引数、最小値点集合 arg min (argmin) が同様に定義される。例えば

\operatorname*{arg\,min}_x f(x)

f(x) が最小値を達成する点 x 全体の成す集合である。もちろん、最小値作用素 min に対を成す。

注釈[編集]

  1. ^ 混同を避けるため、臨界点英語版臨界値英語版のように、入力 x のことは「点」、出力 y のことは「値」と呼び分けることは便利である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ [1]
  2. ^ 有界閉とコンパクト 東京大学基礎数理の授業の講義資料。コンパクト空間の基礎的な定理によってコンパクト集合ならば有界閉集合になることを示している。

外部リンク[編集]