二体問題

二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。

全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。

問題の記述

${\boldsymbol {x}}_{1}$ と ${\boldsymbol {x}}_{2}$ を2つの物体の位置、 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間 $t$ に対して軌跡 ${\boldsymbol {x}}_{1}(t)$ 及び ${\boldsymbol {x}}_{2}(t)$ を確定させることである。

最初の位置を

{\boldsymbol {x}}_{1}(t=0)

と

{\boldsymbol {x}}_{2}(t=0)

、

最初の速さを

{\boldsymbol {v}}_{1}(t=0)

と

{\boldsymbol {v}}_{2}(t=0)

と置くと、運動の第2法則により

{\boldsymbol {F}}_{12}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}\quad \quad \quad ({\text{Equation 1}})

{\boldsymbol {F}}_{21}({\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2})=m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}\quad \quad \quad ({\text{Equation 2}})

と書ける。ここで、

{\boldsymbol {F}}_{12}

は質量1が質量2から受ける力であり、

{\boldsymbol {F}}_{21}

は質量2が質量1から受ける力である。

この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル ${\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡 ${\boldsymbol {x}}_{1}(t)$ と ${\boldsymbol {x}}_{2}(t)$ が記述できる。

重心の動き

式1と式2を足すと、

m_{1}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{cm}={\boldsymbol {F}}_{12}+{\boldsymbol {F}}_{21}=0

となる。ここで運動の第3法則 ${\boldsymbol {F}}_{12}=-{\boldsymbol {F}}_{21}$ を使うと、

{\boldsymbol {x}}_{cm}\equiv {\frac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+m_{2}{\boldsymbol {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式

{\ddot {\boldsymbol {x}}}_{cm}=0

は、重心の速度 ${\dot {\boldsymbol {x}}}_{cm}$ と、全運動量 $m_{1}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{1}+m_{2}{\dot {\boldsymbol {x}}}_{2}$ が一定であることを意味する。つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。