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数学において、三角関数は以下のように部分分数に展開される。
初めに余接関数の部分分数展開について示す。 そのために、
として、恒等的に f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} であることを確かめる。 z → 0 {\displaystyle z\to 0} の極限において
であるから f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} の極は除去され、 f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)} であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は | ℑ z | < ∞ {\displaystyle |\Im {z}|<\infty } において有界である。 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} と書き
| x | ≤ 1 2 < | y | {\displaystyle |x|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}<|y|} を仮定すれば
tan θ = n | y | 2 − 1 4 {\displaystyle \tan \theta ={\frac {n}{\sqrt {|y|^{2}-{\frac {1}{4}}}}}} の置換により
となるから、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は | ℜ z | ≤ 1 2 {\displaystyle |\Re {z}|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}} において有界であるが、 f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)} であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理により f ( z ) = f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(z)=f(0)=0} である。
他の関数については
余接関数の部分分数展開の両辺を微分して比較することにより
が導かれる。(→バーゼル問題)