シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、 $△ ABC$ の外接円上の点 $P$ から三角形の各辺 $BC, CA, AB$ におろした垂線の足 $L, N, M$ がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた^[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス^[2]である。

シムソン線の性質

三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。

証明

初等幾何による証明

A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。

AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。

∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。

点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…①

直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…②

点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。

∠CBP>90度だから直線BAに対してLとCは反対側にあるから直線BAに対してLとPは同じ側にある。

Nは直線BA上の点だから直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③

∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④

①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。

したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.

複素数による証明

複素数による証明

△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。

外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数を $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ とする。

$x$ の共役複素数を ${\bar {x}}$ とすると

A,B,C,Pは単位円上の点だから、 $|a|=|b|=|c|=1.$ …(1)

PL と BC のなす角は直角だから、 $(d-1)({\bar {c}}-{\bar {b}})+({\bar {d}}-1)(c-b)=0.$ …(2)

L,B,C は同一直線上にあるから、 $(d-b)({\bar {c}}-{\bar {b}})-({\bar {d}}-{\bar {b}})(c-b)=0.$ …(3)

$b{\bar {b}}=c{\bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1$ である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、

$2d=b+c-bc+1.$

同様にして、 $2e=c+a-ca+1,\ \ 2f=a+b-ab+1.$

次に $(e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)$ を求めると、

${\begin{aligned}4((e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d))&=(({\bar {a}}b-{\bar {ab}})(|c|^{2}-1)+({\bar {b}}c-{\bar {bc}})(|a|^{2}-1)+({\bar {ac}}-{\bar {ca}})(|b|^{2}-1)\\&\ +a(|c|^{2}-|b|^{2})+b(|a|^{2}-|c|^{2})+c(|b|^{2}-|a|^{2})\\&\ +{\bar {a}}(|b|^{2}-|c|^{2})+{\bar {b}}(|c|^{2}-|a|^{2})+{\bar {c}}(|a|^{2}-|b|^{2})).\end{aligned}}$