予測子修正子法

予測子修正子法（よそくししゅうせいしほう、英: Predictor‐Corrector Method）とは、常微分方程式の初期値問題に対する数値解法の一つである^[1]。

線形多段法に分類され、予測子によって近似計算を行い、修正子によりその近似値を修正する方法が一般的^[1]。

代表的な予測子修正子法としてHeunの中点法、Milne-Simpson法、Adams-Moulton法がある。Milne-Simpson法は弱安定で、時には不安定現象を起こすことがある^[1]。また、4次のAdams-Moulton法は安定な線形3段解法のうちで最高の次数を持つことが知られている^[1]。

概要

常微分方程式の初期値問題は以下である。

{\dfrac {du}{dt}}=f(t,u)

u(t_{0})=u_{0}

この厳密解は以下の積分方程式を満足する。

$u(t_{N})-u(t_{M})=\int _{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt$

ここで、右辺の積分区間を単にきざみの一単位 $h$ にとった公式を一般にアダムス型公式という。

$v_{n+1}-v_{n}=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}g_{p}(t)dt$

被積分関数 $g_{p}(t)$ は $p$ 個の標本点において値 $f_{i}=f(t_{j},v_{j})$ をとるラグランジュ補間公式であって、たかだか $p-1$ 次の多項式である。

標本点として $t_{n-p+1},t_{n-p+2},\cdots ,t_{n}$ をとったときこれを $p$ 次のアダムス・バシュフォース（Adams-Bashforth）公式（ルンゲ＝クッタ法と同様に強安定な公式であり、1次の場合はオイラー法と同じ^[1]）といい、標本点として $t_{n-p+2},t_{n-p+3},\cdots ,t_{n},t_{n+1}$ をとったとき $p$ 次のアダムス・ムルトン（Adams-Moulton）公式という。