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== 内積 == |
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== 内積 == |
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直交座標系の場合は、2つの[[ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_x, u_y), \vec{v}=(v_x, v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる: |
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直交座標系の場合は、2つの[[ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_x, u_y), \vec{v}=(v_x, v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる: |
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: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_x u_y+(u_x v_y+u_y v_x)\cos\theta+v_x v_y\\ |
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: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_x u_y+(u_x v_y+u_y v_x)\cos\theta+v_x v_y\\ |
2014年6月18日 (水) 03:16時点における版
斜交座標系(しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system)とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。
2次元平面における斜交座標系
2本の数直線x 、y が定点Oを共通の原点として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。
逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。
なお、2本の軸のなす角θがθ = 90°のときは直交座標系となる。
直交座標系との座標変換
斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に座標変換する公式は以下である:
内積
直交座標系の場合は、2つのベクトルの内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
ここで右辺に現れる行列は、計量テンソルに一般化される。
あるいは次のようにも表現できる[1][2]:
このとき、添字が上についている量(u1 など)を反変成分、下についている量(v1 など)を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル(共変基底ベクトル)を とすれば、反変成分を用いて
と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして
- :y軸(または)に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル
- :x軸(または)に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル
とすれば[3]、共変成分を用いて
と書くことができる。
この例では、計量テンソルg は
となる。
上記の議論は を入れ替えても同様に成り立つ。
脚注
- ^ W. フリューゲ 著、後藤学 訳『テンソル解析と連続体力学』ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。
- ^ ui vi などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。
- ^ これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、 の関係が成り立つ。
関連項目