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2021年5月5日 (水) 02:43時点における版

数学の殊（こと）に環論において可換環上の代数（だいすう）あるいは多元環（たげんかん、英: algebra）は、体上の多元環の概念（がいねん）において係数体を考えるところを置き換えて可換環を係数環としたものである。

本項においては、環と言（ゆ）えば単位元を持つものと仮定する。

厳密（げんみつ）な定義

R を可換環とするとき、R 上の多元環 (R-algebra) とは、R-加群 A であって、A の乗法（じょうほう、情報ではない！）と呼ばれる双線型な二項演算

[\bullet ,\,\bullet ]\colon A\times A\to A

を備えたものを言う。即ち A の乗法は任意のスカラー a, b ∈ R と任意の元 x, y, z ∈ A について

双線型性: $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

を満たす。

結合多元環

詳細は「結合的多元環」を参照

多元環 A が A の乗法に関して（単位的）半群を成す、つまり乗法が結合的（かつ単位元を持つ）ならば、R-多元環 A は R-結合多元環と言う。即ち、結合多元環は、それ自体が（環上の）環を成し、環の概念を一般化するものである。R 上の結合多元環を、環準同型 f: R → A が存在して f の像が A の中心に含まれるような環 A として定義することもできる。

参考文献

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556

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-[[数学]]の殊に[[環論]]において[[可換環]]上の'''代数'''あるいは'''多元環'''（たげんかん、{{lang-en-short|''algebra''}}）は、[[体上の多元環]]の概念において[[係数体]]を考えるところを置き換えて可換環を[[係数環]]としたものである。
+[[数学]]の殊（こと）に[[環論]]において[[可換環]]上の'''代数'''（だいすう）あるいは'''多元環'''（たげんかん、{{lang-en-short|''algebra''}}）は、[[体上の多元環]]の概念（がいねん）において[[係数体]]を考えるところを置き換えて可換環を[[係数環]]としたものである。
-本項においては、環と言えば[[単位的多元環|単位元を持つ]]ものと仮定する。
+本項においては、環と言（ゆ）えば[[単位的多元環|単位元を持つ]]ものと仮定する。
-== 厳密な定義 ==
+== 厳密（げんみつ）な定義 ==
-''R'' を可換環とするとき、''R'' 上の'''多元環''' (''R''-''algebra'') とは、[[環上の加群|''R''-加群]] ''A'' であって、''A'' の乗法と呼ばれる双線型な[[二項演算]]
+''R'' を可換環とするとき、''R'' 上の'''多元環''' (''R''-''algebra'') とは、[[環上の加群|''R''-加群]] ''A'' であって、''A'' の乗法（じょうほう、情報ではない！）と呼ばれる双線型な[[二項演算]]
 : <math>[\bullet,\,\bull]\colon A\times A\to A</math>
 を備えたものを言う。即ち ''A'' の乗法は任意のスカラー ''a'', ''b'' &isin; ''R'' と任意の元 ''x'', ''y'', ''z'' &isin; ''A'' について

2021年5月5日 (水) 02:43時点における版

厳密（げんみつ）な定義

結合多元環

関連項目

参考文献