正弦・余弦変換

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数学におけるフーリエ正弦・余弦変換(せいげんよげんへんかん、英語: sine and cosine transforms)とは、連続フーリエ変換の特別なもので、それぞれ奇関数偶関数の変換を行う際に自然に生じるものである。

一般的なフーリエ変換


F(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt

によって定義される。この積分オイラーの公式を適用することにより

F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)(\cos\,{\omega t} - i\,\sin{ \,\omega t})\,dt

が得られる。これは二つの積分の差として、次のように記述される:

F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt - \frac{i}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{\omega t}\,dt.

フーリエ正弦変換およびフーリエ余弦変換は、この式から導くことが出来る。

フーリエ正弦変換[編集]

フーリエ正弦変換は、奇関数に対して連続フーリエ変換を行う際に自然に生じる。上述のような一般的なフーリエ変換において、もし f(t) が奇関数であるなら、積 f(t)cosωt も奇関数となる一方で、積 f(t)sinωt は偶関数となる。その積分区間が原点について対称(すなわち -∞ から +∞ まで)であるため、一つ目の積分はゼロとなり、二つ目の積分は

F(\omega)= -i\,\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt

と簡略化される。これがすなわち奇関数 f(t) に対するフーリエ正弦変換である。その変換された関数 F(ω) もまた奇関数であることは明らかであり、一般的な逆フーリエ変換英語版の解析と同様に、第二正弦変換

f(t)= i\,\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty F(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega

を得ることが出来る。一般的な連続フーリエ変換に関する議論と同様に、変換の数値的な因数はそれらの積によってのみ一意に定められる。したがって、虚数単位 i および -i は除外することが出来、より一般的な形でのフーリエ正弦変換は

F(\omega)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty f(t)\sin\,{\omega t} \,dt

および

f(t)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty F(\omega)\sin\,{\omega t} \,d\omega

となる。

フーリエ余弦変換[編集]

フーリエ余弦変換は、偶関数に対して連続フーリエ変換を行う際に自然に生じる。上述のような一般的なフーリエ変換において、もし f(t) が偶関数であるなら、積 f(t)cosωt も偶関数となる一方で積 f(t)sinωt は奇関数となる。積分区間が原点について対称であるため、二つ目の積分はゼロとなる一方で、一つ目の積分は

F(\omega)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty f(t)\cos\,{\omega t} \,dt

と簡略化される。これが、偶関数 f(t) に対するフーリエ余弦変換である。変換された関数 F(ω) も偶関数であることは明らかで、一般的な逆フーリエ変換に対する解析と同様に、第二余弦変換

f(t)= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int\limits_{0}^\infty F(\omega)\cos\,{\omega t} \,d\omega

を得ることが出来る。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2nd Ed, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1