方べきの定理

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方べきの定理方冪の定理、ほうべきのていり)は、平面初等幾何学定理の1つである。

内容[編集]

図1
図2
図3

O とその円周上にないP を取り、点P を通る2本の割線(円との共有点が2個の直線)と円O の交点を A, B と C, D とすると、(図1、図2)

が成り立つ。

また、P が円O の外側にあるとき、一方の割線が円O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、(図3)

が成り立つ。

証明[編集]

P が円O の内側にある場合 Houbeki 002.svg 左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから
∠BAC = ∠BDC
∠ACD = ∠ABD

このことにより、二角相等

△PAC ∽ △PDB

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
P が円O の外側にある場合 Houbeki 004.svg 左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、
∠PAC = ∠PDB
∠PCA = ∠PBD

二角相等

△PAC ∽ △PDB

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
一方の割線が接線になる場合 Houbeki 006.svg 左の図において、接弦定理により、
∠PTA = ∠PBT

また、共通の角で

∠TPA = ∠BPT

二角相等

△PAT ∽ △PTB

よって

PA : PT = PT : PB

ゆえに

PA ・ PB = PT2