方べきの定理

方べきの定理（方冪の定理、ほうべきのていり）は、平面初等幾何学の定理の1つである。

内容

図1 弦弦定理

図2 割割定理

図3 接割定理

円O とその円周上にない点P を取り、点P を通る2本の割線（円との共有点が2個の直線）と円O の交点を A, B と C, D とすると、（図1、図2）

${\text{PA}}\cdot {\text{PB}}={\text{PC}}\cdot {\text{PD}}$

が成り立つ。

また、P が円O の外側にあるとき、一方の割線が円O の接線となる場合にも、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、（図3）

${\text{PA}}\cdot {\text{PB}}={\text{PT}}^{2}$

が成り立つ。

証明

P が円O の内側にある場合		左の図において、同一の弧に対する円周角は互いに等しいから ∠BAC = ∠BDC ∠ACD = ∠ABD このことにより、二角相等で △PAC ∽ △PDB よって PA : PC = PD : PB ゆえに PA ・ PB = PC ・ PD
P が円O の外側にある場合		左の図において、円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しいから、 ∠PAC = ∠PDB ∠PCA = ∠PBD 二角相等で △PAC ∽ △PDB よって PA : PC = PD : PB ゆえに PA ・ PB = PC ・ PD
一方の割線が接線になる場合		左の図において、接弦定理により、 ∠PTA = ∠PBT また、共通の角で ∠TPA = ∠BPT 二角相等で △PAT ∽ △PTB よって PA : PT = PT : PB ゆえに PA ・ PB = PT2