方べきの定理

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方べきの定理方冪の定理、ほうべきのていり)は、平面初等幾何学定理の1つである。

内容[編集]

図1
図2
図3

O とその円周外にP を取り、点P を通る2本の割線(円との共有点が2個の直線)と円O の交点を A, B と C, D とすると、(図1、図2)

\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PC} \cdot \text{PD}

が成り立ち、

また、点P から円O に割線接線を引いて、円と割線の交点を A, B、接点を T とすると、(図3)

\text{PA} \cdot \text{PB} =\text{PT}^2

が成り立つ。

証明[編集]

Houbeki 002.svg 左の図において、円周角より
∠BAC = ∠BDC
∠ACD = ∠ABD

二角相等

△ACP ∽ △DBP

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
Houbeki 004.svg 左の図において、円に内接する四角形の内対角より、
∠PAC = ∠PDB
∠PCA = ∠PBD

二角相等

△PAC ∽ △PDB

よって

PA : PC = PD : PB

ゆえに

PA ・ PB = PC ・ PD
Houbeki 006.svg 左の図において、接弦定理より、
∠PTA = ∠PBT

また、共通の角で

∠TPA = ∠BPT

二角相等

△TPA ∽ △BPT

よって

PT : PA = PB : PT

ゆえに

PT2 = PA ・ PB