忠実表現

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数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、 Gベクトル空間 V 上の忠実表現(ちゅうじつひょうげん、: faithful representationρ とは、G の異なる元 g が異なる線型写像 ρ(g) によって表現される線型表現のことである。

より抽象的な言葉では、これが意味するのは群準同型

ρ: GGL(V)

単射であるということである。

注意G の体 K 上の表現は事実上 K[G] 加群と同じである(K[G] は群 G群環を表す)が、G の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実 K[G] 加群は G の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群 Sn置換行列による n 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は n! である一方 n × n 行列の全体は n2 次元のベクトル空間をなすので、n4 以上であれば、次元勘定により(24 > 16 だから)置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。

性質[編集]

有限群 G の標数 0代数閉体 K 上の表現 V が(表現として)忠実であることと G の任意の既約表現が十分大きい n に対して SnV(表現 Vn 次対称冪)の部分表現として生じることは同値である。また、V が(表現として)忠実であることと G の任意の既約表現が十分大きい n に対して

(表現 Vn 次テンソル冪)の部分表現として生じることは同値である[要出典]

参考文献[編集]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “faithful representation”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/F/f038170.htm