巡回行列

巡回行列（じゅんかいぎょうれつ）または循環行列（じゅんかんぎょうれつ、英: Circulant matrix）は、テプリッツ行列の特殊なものであり、各行ベクトルが1つ前の行ベクトルの要素を1つずらして配置した形になっているものである。数値解析において、巡回行列は離散フーリエ変換によって対角化されるため、それを含む線型方程式系は高速フーリエ変換で高速に解くことができる。

定義

$n\times n$ の行列 $\ C$ が次のような形式であるとき、これを巡回行列と呼ぶ。

$C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\\\end{bmatrix}}$

巡回行列は1つのベクトル $\ c$ で完全に表すことができる。そのベクトルは $\ C$ の最初の列で表されている。他の列はそれを回転させたものになっている。$\ C$ の最後の行は $\ c$ を逆の順序にしたものであり、他の行はそれを回転させたものになっている。

性質

固有ベクトルと固有値

巡回行列の規格化された固有ベクトルは

$v_{j}={\frac {1}{\sqrt {n}}}(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\quad j=0,1,\ldots ,n-1,$

で与えられ、これらは正規直交系を成す。ここで$\omega _{j}=\exp \left({\tfrac {2\pi ij}{n}}\right)$ は1のn 乗根で、$i$ は虚数単位である。

対応する固有値は

$\lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},\qquad j=0\ldots n-1.$

で与えられる(以上の事実は実際に Cv_j を計算してみればわかる)。

その他の性質

$n\times n$ の巡回行列の集合は、n-次元ベクトル空間を形成する。

任意の2つの巡回行列 $\ A$ と $\ B$ について、$\ A+B$ も $\ AB$ も巡回行列となり、$\ AB=BA$ が成り立つ。従って、巡回行列は可換代数を形成する。

与えられたサイズの巡回行列の固有ベクトルは、同じサイズの離散フーリエ変換行列の列である。その結果、巡回行列の固有値は高速フーリエ変換 (FFT) で簡単に計算できる。

巡回行列の最初の行のFFTを行った場合、その巡回行列の行列式はスペクトル値の積となる。

$\ C=W\Lambda W^{-1}$ （固有分解による）

$\ \operatorname {det} (C)=\operatorname {det} \left(W\Lambda W^{-1}\right)$

$\ \operatorname {det} (C)=\operatorname {det} \left(W\right)\operatorname {det} \left(\Lambda \right)\operatorname {det} \left(W^{-1}\right)$

$\ \operatorname {det} (C)=\operatorname {det} \left(\Lambda \right)=\prod _{k=1}^{n}\lambda _{k}$

ここで

• $\ C$ は $n\times n$ の巡回行列である
• $\ W$ は、ユニタリーな離散フーリエ変換行列である
• $\ \Lambda$ は、固有値が $\ \lambda _{k}$ の対角行列である

最後の項 $\ \Pi _{k=1}^{n}\lambda _{k}$ は、スペクトル値の積と同じである。

巡回行列を使った線型方程式系の解法

線型方程式系を行列で次のように表す。

$\ \mathbf {C} \mathbf {x} =\mathbf {b}$

ここで、$\ C$ が大きさ $\ n$ の巡回行列であれば、循環畳み込みとして次のように方程式を表せる。

$\ \mathbf {c} *\mathbf {x} =\mathbf {b}$

ここで、$\ c$ は $\ C$ の最初の列であり、ベクトル $\ c$、$\ x$、$\ b$ は双方向に循環的に拡張される。畳み込み定理を使うと、離散フーリエ変換を使って循環畳み込みを次のような形式にできる。

$\ {\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} *\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ){\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} )$

従って、次のようになる。

$\ \mathbf {x} ={\mathcal {F}}_{n}^{-1}\left[\left({\frac {({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} ))_{\nu }}{({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ))_{\nu }}}\right)_{\nu \in \mathbf {Z} }\right]$

このアルゴリズムは通常のガウスの消去法よりも高速であり、特に高速フーリエ変換を使えば高速になる。

グラフ理論における応用

グラフ理論において、隣接行列が巡回行列になっているグラフをcirculant graph（循環グラフ、巡回グラフ）と呼ぶ。グラフが circulant であるとは、その自己同型群（automorphism group）に全長サイクル（full-length cycle）が含まれる場合を指す。circulant graph の例としてメビウスの梯子がある。

外部リンク

• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray