定常集合

数学、特に集合論やモデル理論において定常集合（ていじょうしゅうごう、英: stationary set）という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:

古典的な意味付け

$\kappa \,$を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合$S\subset \kappa \,$が$\kappa \,$の いかなるclub集合とも交わるならば、$S\,$を$\kappa \,$内の定常集合という。 定常でない集合は非定常集合という。

$S\,$が定常で$C\,$がclubなら、その共通部分$S\cap C\,$はまた定常である。 それは、$D\,$をclub集合とすると$C\cap D\,$はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、 $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)\,$は空でない集合となる。 ゆえに、$(S\cap C)\,$は定常である。

非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。$\kappa$の共終数が可算であったとして、 $S\subset \kappa$が$\kappa$内で定常であるのは$\kappa \setminus S$が $\kappa$内で有界であることと同値である。 特に、$\kappa$の共終数が $\omega =\aleph _{0}$であるなら任意の二つの$\kappa$の定常集合の共通部分は定常である。

これは$\kappa$の共終数が非可算なときは起こらない。 実際、$\kappa$を正則基数で$S\subset \kappa$をその中の定常集合とすると、$S$は$\kappa$個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイによるもので、$\kappa$が後続型基数のとき、 このことはスタニスワフ・ウラムによって、 いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。

イェフによる意味付け

$[X]^{\lambda }$の部分集合にも定常集合の概念は定義される。 ここで、$[X]^{\lambda }$は$[X]^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$のことである。 $S\subset [X]^{\lambda }$が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。 $[X]^{\lambda }$の部分集合がclubであるとは、$\subset$の下で非有界かつ、 $\lambda$以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。 この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、$X=\omega _{1},\lambda =\aleph _{0}$とすると $S\subset [\omega _{1}]^{\omega }$が定常であることと、 $S\cap \omega _{1}$が$\omega _{1}$の中で定常であることは一致する。

フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。

一般化された意味付け

三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。 この概念はM. Magidor, M. Foreman, サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。

$X$Xを空でない集合とする。$C\subset {\mathcal {P}}(X)$がclubであるとは、 関数$F:[X]^{<\omega }\to X$で$C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}$を満たすものが存在することを言う。 ここで$[y]^{<\omega }$は$y$の有限部分集合全体による集合のことである。

$S\subset {\mathcal {P}}(X)$が${\mathcal {P}}(X)$で定常であるとは、Sが${\mathcal {P}}(X)$の全てのclub集合と交わることを言う。

モデル理論との関連を見る。$M$を対象領域を$X$とする可算な言語上のストラクチャー、 $F$が$M$へのスコーレム関数であるとすると、定常集合$S$は $M$の初等部分構造をもつ。 実際、$S\subset {\mathcal {P}}(X)$が定常であることは、任意のこのようなストラクチャー$M$に対して、$M$の初等部分構造が$S$に属することと同値である。

関連項目

• フォドアの補題
• club集合
• ダイヤモンド原理

参考文献

Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS

Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 File at [1]

外部リンク

• Stationary set - PlanetMath.org（英語）