外測度

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数学、とくに測度論における外測度(がいそくど, outer measure)とは、与えられた集合の部分集合の大きさを与える測度関数を可測集合以外の全ての部分集合に拡張して得られるような一定の性質を満たす関数である。この概念はコンスタンティン・カラテオドリ[1]によって加算加法的測度の理論の基礎を与えるため導入された。その後のカラテオドリの研究によるカラテオドリの拡張定理や、フェリックス・ハウスドルフによる距離空間のハウスドルフ次元などに関する多くの応用が見つかった。

定義[編集]

集合 X の上の外測度 μ とは、冪集合2X 上で定義され、拡張された区間 [0, ∞] に値を持つ(つまり、無限大も許す非負値の)関数であって次の性質を満たすもののことである:

  • 空集合の測度は零:
 \mu(\emptyset) = 0.
  • 単調性:E1E2 ならば、
 \mu(E_1) \leq \mu(E_2).
  • 劣加法性:加算個の集合の列E1, E2, E3, ... について
 \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i).

外測度の構成[編集]

集合族 S ⊆ 2X 上で定義された [0, ∞] 値関数 m に対し、

\phi_m(A) = \inf \sum_{i=0}^\infty m(E_i) : E_0, \ldots, E_n, \ldots \subset X, A \subset \cup_{i=0}^\infty E_i

によって X 上の外測度 φm が定義される。Sがσ-代数でmが加算加法的な測度ならばφmmの拡張になっている。

外測度からの測度の構成[編集]

外測度 μ に対し、任意の集合 A にたいして、次の式を満たすような集合 E をμ-可測集合とする。

 \mu(A) = \mu(A \cap E) + \mu(A \setminus E).

このときμ-可測集合全体は完全加法族となり、これらの集合に関する μの制限は完備な測度を与えている。

参考文献[編集]

  1. ^ Carathéodory, Constantin (1918). Vorlesungen über reelle Funktionen (1 ed.). Berlin: Leipzig.