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単サイト近似(たんサイトきんじ、英: Single site approximation)または単一サイト近似とは、多重散乱理論における総散乱行列T において、ポテンシャルがランダムな場合に平均操作で行われる近似のこと。
ここでは、置換型の不規則二元合金を考え、格子の配置は周期的であるが、ポテンシャル(二元合金なのでポテンシャルは2種類ある)の配置がランダムであるとする。
多重散乱理論から、ここで総散乱行列T は、
![{\displaystyle T=\sum _{n}t_{n}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}+\cdot \cdot \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46cd7b29ed8973329ed71bc8224e05b32fc0dd01)
である(→参照:多重散乱理論)。不規則二元合金では、2種類のポテンシャルをそれぞれA、Bとして、それに対応するt行列をtA、tBとする。従って、ポテンシャルがランダムに配置されている場合、上式の各項のt行列の和においてtA、tBがランダムに出てくることとなる。これをそのまま扱うことは現実には不可能で、何らかの平均化(平均操作)を行う必要がある。つまり、
![{\displaystyle {\begin{aligned}T\quad \to \quad \langle T\rangle &=\left\langle \sum _{n}t_{n}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}+\sum _{n}t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}+\cdot \cdot \cdot \right\rangle \\&=\sum _{n}\left\langle t_{n}\right\rangle +\sum _{n}\left\langle t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}\right\rangle +\sum _{n}\left\langle t_{n}{\tilde {G}}\sum _{m\neq n}t_{m}{\tilde {G}}\sum _{p\neq m}t_{p}\right\rangle +\cdot \cdot \cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1d2477062646435ad43d1380ad44b58d7d3596)
とする。< >は平均操作を意味する。ここで、上式最右辺の第三項に着目すると、これは3つのt行列の積の形となっている。そして、これにはtntmtn、tmtntmのような項が存在する。4次以上の項でも同様で、同一サイト同士の積が残ってしまう。これは平均化にとって甚だ面倒なこととなる。簡単のために1次と2次の場合を考え、ポテンシャルA、ポテンシャルBの濃度比をx:1-x(=y)として平均操作の結果を以下に示す。
1次の平均は、
![{\displaystyle \langle t_{n}\rangle \to {\begin{cases}xt_{A},&n={\mbox{A }}\\(1-x)t_{B},&n={\mbox{B}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831accdbca82ae7127eb9be7e456a6abcb129a2)
2次の平均は、
![{\displaystyle \langle t_{n}t_{m}\rangle \to {\begin{cases}x^{2}{t_{A}}^{2},&n\neq m,\quad n={\mbox{A}},\quad m={\mbox{A}}\\x{t_{A}}^{2},&n=m,\quad n=m={\mbox{A}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e553b56c66d04a9e3cdea8699fd3ce8d48466d93)
となる。2次の場合、nまたはmがBの場合は省略(本当は2次の項の場合、n = mとなることはないが、ここでは便宜上n = mの場合を示した)。
1次の場合は良いとして、2次では
と
の場合とで平均の結果が異なる。つまり、3次以上の項では、t行列の積で同一サイトが含まれる場合と、そうでない場合とで平均操作を場合分けする必要がある。これを現実に行うことは不可能である。実際の平均操作では同一サイトが含まれるt行列の積の項を全て無視し、面倒な場合分けを行わないものとする。これが単サイト近似である。この近似により3次の項の平均操作を例にとると、
![{\displaystyle \left\langle t_{n}t_{m}t_{p}\right\rangle =\left\langle t_{n}\right\rangle \left\langle t_{m}\right\rangle \left\langle t_{p}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f56a98ef84628deed38f53f727ea98a7dd66d1)
と各t行列毎の平均操作の積で表すことができる(ここで、
は省略した)。また、
は周期的なポテンシャル部分によるグリーン関数なので平均操作に対して不変である。
![{\displaystyle {\tilde {G}}=\left\langle {\tilde {G}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77eeb37acf04d49d489974726edeaa92b312aa4e)
以上から、単サイト近似における総散乱行列Tの平均<T>は、
![{\displaystyle \left\langle T\right\rangle =\sum _{n}\left\langle t_{n}\right\rangle +\sum _{n}\left\langle t_{n}\right\rangle {\tilde {G}}\sum _{m\neq n}\left\langle t_{m}\right\rangle +\sum _{n}\left\langle t_{n}\right\rangle {\tilde {G}}\sum _{m\neq n}\left\langle t_{m}\right\rangle {\tilde {G}}\sum _{p\neq m,n}\left\langle t_{p}\right\rangle +\cdot \cdot \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c5089a5c0dbbc984d1d9696335c68c233d05cc)
となる。平均操作を施した状態密度D(E)は(D0(E)は自由電子の状態密度)、
となる。係数2はスピンの縮重度。Imは虚数部分、Trはトレース(跡)を取ることを意味する。更に平均操作は添え字nに対して独立なので、n=0(を原点として)で代表させる(N倍する必要あり。N:全サイト数)。また< Tnn >はフーリエ変換により、
![{\displaystyle \left\langle T_{nn}\right\rangle \to T_{\mathbf {q} }^{eff}=[\tau _{eff}^{-1}-B_{\mathbf {q} }]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74042a1b2ab729ff53d6922c018a0c3b9f9e415)
として、
![{\displaystyle D(E)-D_{0}(E)=-{2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} \left[x\left\langle T_{00}\right\rangle _{0=A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\left\langle T_{00}\right\rangle _{0=B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}-{1 \over N}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{eff}{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b103d6f64d71e866e17197b115989df6631737)
となる。これが不規則二元合金の状態密度を与える基本式となる。尚、Bqは構造定数(
)をフーリエ変換したものである。
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