共形場理論

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共形場理論(きょうけいばりろん、Conformal Field Theory, CFT)とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。

共形変換に対する不変性はWard-Takahashi恒等式を要請し、これをもとにエネルギー-運動量テンソル(あるいはストレステンソル)に関する保存量が導出される。また1+1次元系においては、エネルギー-運動量テンソルを展開したものは、Virasoro代数と呼ばれる無限次元リー代数をなし、理論の中心的役割を果たす。

共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d-1次元+時間1次元のd次元時空間ではリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個あり、その内訳は以下のとおり。

  • d(d-1)/2: 空間 d-1 + 時間 1次元空間のローレンツ変換
  • d: d次元空間の並進+時間推進

※以上が、部分群としてのポアンカレ群の生成子をなす。 スケール普遍性は定義より以下の変換(ディラテーション)を示唆する。

  • 1: スケール変換(計量の目盛りの変更)

さらに強く、共形不変性を要求すると

  • d: d次元時空の特殊共形変換(反転×平行移動×反転)

が加わる。この代数SO(d,2)を共形代数(conformal algebra)と呼ぶ。

場の理論の基本的な可観測量である相関関数(場の演算子の積の真空期待値)は共形代数によって強い制限を受ける。特にユニタリな共形場の理論においては、例えばスカラー演算子の二点関数は と定まってしまう。ここで、は演算子 のスケーリング次元と呼ばれる(理論依存の)パラメータである。

2次元共形場理論[編集]

2次元共形場理論は歴史的には1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初めて定式化された[1]。2次元共形場理論で言及するのは次のような場合である。

一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。しかし、空間1次元+時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、共形変換群SO(2,2)は正則関数等角写像の変換群(無限次元リー群)に拡張される。この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(Virasoro 代数)の部分代数となる。Virasoro代数から得られるヒルベルト空間に対する制限は強力であり、ミニマル模型と呼ばれる模型群に対しては、(これには臨界点上の2次元イジング模型も含まれる)全ての相関関数の振る舞いをVirasoro代数とWard-Takahasi恒等式から厳密に求めることができる(可解である)。可解である2次元共形場理論は、2次元統計系あるいは1+1次元量子系を理解する上で強力な武器となっている。

関連記事[編集]

参考文献[編集]

  • Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. ISBN 9780387947853. 
  • Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. arXiv:hep-th/9108028.
  • 川上則雄、梁成吉:「共形場理論と1次元量子系」、岩波書店、ISBN4-00-007411-3(1997年11月25日)。
  • 山田 泰彦:「共形場理論入門」、培風館、ISBN 978-4563006617(2006/01)。
  • 伊藤克司: 臨時別冊・数理科学SGC-83「共形場理論」、サイエンス社(2011/06/25)。
  • 江口 徹, 菅原 祐二:「共形場理論」、岩波書店、ISBN 978-4000052498(2015/9/18)。

参照[編集]

  1. ^ Belavin, A. A.; Polyakov, A. M.; Zamolodchikov, A. B. (1984). “Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory”. Nuclear Physics B 241 (2): 333-380. doi:10.1016/0550-3213(84)90052-X.