一般角

一般角^[1]（いっぱんかく、英語: general angle^[2]^[3]）とは、任意の角度を表す概念であり、特定の範囲に限定されない角度のことを指す。

概要

通常、三角法や幾何学において角度を考える際には、 $0^{\circ }$ から $360^{\circ }$ までの範囲や、ラジアンで表現する場合は $0^{\circ }$ から $2\pi$ までの範囲で考えることが多い。

しかし、一般角はこのような特定の範囲に限定されず、例えば負の角度や $360^{\circ }$ を超える角度も含まれる。

角に正負のみを与えたものは有向角と呼ばれる^[4]。

一般角は以下のように定義される：

角度 $\theta$ に $360^{\circ }$ （または $2\pi \,{\text{rad}}$ ）を整数倍したものを足したり引いたりしたもの。
すなわち、 $\theta$ が一般角である場合、 $\theta +360^{\circ }\times n$ または $\theta +2\pi \times n$ （ $n\in \mathbb {Z}$ ）も一般角である^[5]。

このようにして、一般角の概念を用いることで、複数回転や逆方向の回転など、さまざまな角度の状況を包括的に扱うことができる。

動径を用いて次の様にも定義される^[6]。

半直線 $OX$ （始線）を $O$ を中心として回転させた半直線を $OR$ とする。 $OX$ と $OR$ の成す角を回転量と回転の向きで表したものを一般角と言う。

一般角と三角関数には深い関係がある。例えば以下の様な関係式が成立する。


負角との関係	2πの移動
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

詳細は「複素数の偏角」を参照

角度を一般角に拡張した場合、極座標では点と点を表す実数の組が一対一で表せなくなる^[7]。

^ 『新三角法初歩』目黒書店、1925年、138-148頁。doi:10.11501/986430。
^ 根津千治『三角法教科書教授資料』山海堂出版部、1917年、30-32頁。doi:10.11501/933783。
^ 岡田良知『新制三角函数とその応用』山海堂、1949年、113頁。doi:10.11501/1158963。
^ エヴァン・チェン『数学オリンピック幾何への挑戦: ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年2月。ISBN 978-4-535-78978-4。
^ “一般角(イッパンカク)とは？意味や使い方”. コトバンク. 2024年8月5日閲覧。
^ “一般角の定義”. 金沢工業大学. 2024年8月5日閲覧。
^ “直交座標と極座標（２次元）の変換とメリットの比較”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年8月5日閲覧。