ラプラス=スティルチェス変換

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ラプラス=スティルチェス変換(ラプラス=スティルチェスへんかん)は、ラプラス変換に類似した変換である。ピエール=シモン・ラプラストーマス・スティルチェスにちなんで命名された。関数解析、基礎および応用確率論を含む多くの数学分野で活用されている。

定義[編集]

ある関数 g: RRに対するラプラス=スティルチェス変換\{\mathcal{L}^*g\}は、

\{\mathcal{L}^*g\}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-sx}\,dg(x), \quad s \in \mathbb{C}

と定義される。ただし右辺のルベーグ=スティルチェス積分が存在する必要がある。

しばしばs実数であり、また正の半直線上でのみ定義される関数(すなわちg: [0,∞) → R)のみ扱うような場合もある。このようなときは、上記の積分は0から∞の範囲となる。

性質[編集]

ラプラス=スティルチェス変換は、その性質の多くがラプラス変換と共通である。

たとえば畳み込みについては、2つの写像 gh についてそれぞれラプラス=スティルチェス変換が存在するとき、以下の性質が成り立つ。

\{\mathcal{L}^*(g * h)\}(s) = \{\mathcal{L}^*g\}(s)\{\mathcal{L}^*h\}(s)

応用[編集]

ラプラス=スティルチェス変換は基礎確率論および応用確率論において、しばしば有用である。たとえば、確率分布 F に従う確率変数 X に対して、ラプラス=スティルチェス変換は期待値との関連で説明される。

\{\mathcal{L}^*F\}(s) = \mathrm{E}\left[\mathrm{e}^{-sX}\right]

具体的な応用例としては、マルコフ連鎖のような確率過程の初到達時刻(first passage time)や、再生理論などが挙げられる。物理学においては、たとえば場の量子論での和をゼータ関数正則化の手法によって正則化する際に、ラプラス=スティルチェス変換が用いられることがある。

他の変換との関連[編集]

ラプラス=スティルチェス変換は、他の積分変換(たとえばフーリエ変換やラプラス変換)と密接な関係がある。特に以下の点に注意する。

  • 関数 g が導関数 g' を持つとき、gのラプラス=スティルチェス変換は g' のラプラス変換に等しい。
    \{\mathcal{L}^*g\}(s) = \{\mathcal{L}g'\}(s)
  • 関数 gフーリエ=スティルチェス変換(これは上記と同様、g' のフーリエ変換と一致する)は以下のように与えられる。
    \{\mathcal{F}^*g\}(s) = \{\mathcal{L}^*g\}(\mathrm{i}s), \quad s \in \mathbb{R}

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指数分布に従う確率変数 Y に関するラプラス=スティルチェス変換は以下の通り。

\tilde F_Y(s) = f_Y^*(s) = \int_0^\infty e^{-st} \lambda e^{-\lambda t} dt = \frac{\lambda}{\lambda+s}

参考文献[編集]

ラプラス=スティルチェス変換に関する、よく知られた文献には以下のようなものがある。

  • Apostol, T.M. (1957). Mathematical Analysis. Addison-Wesley, Reading, MA. (For 1974 2nd ed, ISBN 0-201-00288-4).
  • Apostol, T.M. (1997). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, 2nd ed. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0.

確率論およびその応用との関連では、次の文献が参考になる。

  • Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R. (2001). Probability and Random Processes, 3rd ed. Oxford University Press, Oxford. ISBN 0-19-857222-0.