ブリアンションの定理
ブリアンションの定理（ブリアンションのていり）は、フランスの数学者シャルル・ブリアンションが発表した幾何学に関する定理[1][2]。一つの円錐曲線に接する六つの接線により構成された六角形をP1P2P3P4P5P6として、直線P1P4, P2P5, P3P6は一点で交わる[3][4]。双対の定理はパスカルの定理である。
ブリアンションの定理は一般に4n + 2角形に一体化され、2n本が共点であるとき残りの一本も同じ点で交わる（メビウスにより発見された）[1][5]。
退化
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六角形を三角形に退化させると、円錐曲線は、その三角形の内接円錐曲線になる。特に楕円の場合、内接楕円になる。このときP1P4, P2P5, P3P6の交点はブリアンション点[6]または核心[7]と呼ばれる。
証明
[編集]円の場合のブリアンションの定理は根軸を応用して証明される。任意の長さMNの線分を接点を起点として接線上にとる。このとき接点でない方の線分の端と、反対の接線の、接点でない方の線分の端で、接線に接する円を描く。このようにして出来た3円の根軸はピトーの定理から六角形の頂点と反対の点を結んだ直線だと分かる。根軸定理より、この3線は、一点（根心）で交わる[8]。
出典
[編集]- 1 2 Weisstein, Eric W. “Brianchon's Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
- ↑ Wells, David (1991) (English). The Penguin dictionary of curious and interesting geometry
- ↑ Johonson, R. A (英語). Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle. p. 237
- ↑ Ogilvy, C. Stanley (Charles Stanley) (1990). Excursions in geometry. Internet Archive. New York : Dover Publications. ISBN 978-0-486-26530-8
- ↑ Möbius, August Ferdinand; Baltzer, Richard; Klein, Felix; Scheibner, Wilhelm (1885). Gesammelte Werke. University of Michigan. Leipzig: S. Hirzel. pp. 589-595
- ↑ Coxeter, H.S.M.; Greitzer, Samuel L. (1967). Geometry Revisited. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-619-2
- ↑ 一松信 編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年。ISBN 978-4-7687-0437-0。
- ↑ Paris Pamfilos. “Brianchon's theorem”. EucliDraw. 2024年6月30日閲覧。
参考文献
[編集]- Graustein, William C. (1920). Introduction To Higher Geometry
- Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.
- A. S. Smogorzhevskii (1961). The Ruler In Geometrical Constructions (Popular Lectures In Mathematics Vol. 5). p. 33
- Rupp, Charles A. (1929). “An Extension of Pascal's Theorem”. Transactions of the American Mathematical Society 31 (3): 580–594. doi:10.2307/1989535. ISSN 0002-9947.
関連項目
[編集]外部リンク
[編集]- 『平面幾何の美しい定理4つ』 - 高校数学の美しい物語
- 朝倉書店『ブリアンションの定理』 - コトバンク
- “Brianchon theorem”. Encyclopedia of Mathematics. 2025年6月28日閲覧。
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