ゲーゲンバウアー多項式

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数学において、ゲーゲンバウアー多項式(-たこうしき、: Gegenbauer polynomials)又は超球多項式 C(α)
n
(x) とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー英語版 (1849–1903) にちなんで命名された、区間[-1,1]上で定義される重み関数 (1-x2)α-1/2直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式英語版の特殊事例である。

性質[編集]

\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n

\begin{align}
C_0^\alpha(x) & = 1 \\
C_1^\alpha(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^\alpha(x) & = \frac{1}{n}[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^\alpha(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^\alpha(x)]
\end{align}
(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0
C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]
  • \alpha=1/2 の場合がルジャンドル多項式に、\alpha=1 の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。