ゲーゲンバウアー多項式

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数学において、ゲーゲンバウアー多項式(-たこうしき、: Gegenbauer polynomials)又は超球多項式 (ultraspherical polynomials) C_n^{(\alpha)}(x) とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー英語版 (1849–1903) にちなんで命名された、区間 [-1,1] 上で定義される重み関数 (1-x^2)^{\alpha-1/2}直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式英語版の特殊事例である。

性質[編集]


\begin{align}
\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha} &= \sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n \\
\frac{1-xt}{(1-2xt+t^2)^{\alpha+1}} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{n+2\alpha}{2\alpha} C_n^{(\alpha)}(x) t^n 
\end{align}

\begin{align}
C_0^{(\alpha)}(x) & = 1 \\
C_1^{(\alpha)}(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^{(\alpha)}(x) & = \frac{1}{n}\left[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^{(\alpha)}(x)\right]
\end{align}
(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0
C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]
  • 次の直交関係を満たす:
\int_{-1}^{1}C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}\delta_{nm}
  • ある角度余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ:
C_n^{(\alpha)}(\cos\theta) = \sum_{r=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\alpha+r)\Gamma(n+\alpha-r)}{r!(n-r)![\Gamma(\alpha)]^2}\cos(2r-n)\theta
  • \alpha=1/2 の場合がルジャンドル多項式に、\alpha=1 の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

関連項目[編集]