ゲルマン行列

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ゲルマン行列(ゲルマンぎょうれつ, : Gell-Mann matrices)とは、3次特殊ユニタリ群SU(3)無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組[1][2]SU(3) に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、SU(3)対称性に基づく八道説英語版を提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された[3]

定義と基本的な性質[編集]

次式で定義される8個の3×3複素行列の組をゲルマン行列という。

ここで、λ1, λ2, λ3部分空間に作用するパウリ行列 σ1, σ2, σ3

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている[4]

ゲルマン行列 λa (a=1,…,8)エルミート行列かつトレースはゼロとなる。

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす[5]

但し、δabクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係[編集]

ゲルマン行列の交換関係 [λa, λb]=λa λb-λb λa は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

ここで、fabc は添え字 a, b, c について、完全反対称な実係数である。fabc のうち、ゼロでないものは、a < b < c を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

一方、反交換関係 {λa, λb}=λa λb+λb λa は次の形をとる。

ここで、dabc は添え字a, b, c について、完全対称な実係数である。dabc のうち、ゼロでないものをa < b < c を満たすもので代表させて表すと、

SU(3)の生成子[編集]

3次特殊ユニタリ群SU(3)行列式が1となる3×3ユニタリ行列から構成される。SU(3)線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 𝔰𝔲(3) の元ではなく、ゲルマン行列に i=-1 を乗じたものが 𝔰𝔲(3) の元となる。通常、SU(3)の生成子としては、λa の代わりに1/2 を乗じた Ta が用いられる。

コンパクト連結なリー群SU(3)の任意の元はリー環の指数写像によって

の形で与えられる。

ゲルマン行列 λa、 または Ta の線形結合で張られる線形空間は交換子積

により、リー代数となり、その構造は

で定まる構造定数 fabc で規定される[6]。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、fabc は添え字a, b, c について、完全反対称である。

{T1,T2,T3}の組は、

と交換子積について閉じており、SU(2)に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はSU(2)に対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子

で与えられる。

脚注[編集]

  1. ^ G.B. Arfken, H.J. Weber and F.E. Harris (2012), chapter.4
  2. ^ H. Georgi (1999), chapter.7-9
  3. ^ Murray Gell-Mann,"Symmetries of Baryons and Mesons", Phys. Rev. 125, 1067 (1962) doi:10.1103/PhysRev.125.1067
  4. ^ パウリ行列は SU(2) の生成子であり、ゲルマン行列は SU(3) の生成子である。
  5. ^ リー代数におけるカルタン計量に対応する。
  6. ^ fabc交換関係・反交換関係の節で述べたものと同一である。

参考文献[編集]

  • George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
  • H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

関連項目[編集]