閉道 (位相幾何学)

トーラスにおける二つの閉道 a, b

数学の特に位相幾何学における閉道（へいどう、英: closed-path）またはループ (loop) は、始点と終点が等しい道を言う。閉道の始点かつ終点となる点を基点 (basepoint) と呼ぶ。

陽に書けば、位相空間 X 内の閉道とは、単位区間 I ≔ [0, 1] から X への連続写像 f で f(0) = f(1) を満たすものである。点付き単位円 S¹ は I の 0 と 1 を等化して得られる商位相空間と見なせるから、X 内の閉道を S¹ から X への連続写像 f のことと定めてもよい。基点 x を持つ閉道の全体は Ω_xX のように書かれる。X 内の閉道全体の成す集合は、コンパクト開位相を入れて X のループ空間 ΩX と呼ばれる一つの位相空間を成す。

やや変更して、適当な実数 |f| > 0 に対して閉区間 [0, |f|] を定義域とする連続写像 f: [0, |f|] → X; f(0) = f(|f|) を X 内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶ。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す。

複素解析では求長可能な閉道に興味がもたれる。X ≔ ℂ のとき、閉道 γ に対し、γ の巻き数 (winding number) I(γ, z₀) が各点 z₀ ∈ ℂ ∖ γ([0, 1]) で定義される。これは z₀ の周りを γ が何周するかを表す整数であり、$$I(\gamma ,z_{0}):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}$$ で計算できる。

関連項目

• 自由ループ: 基点を持たない閉道
• ループ群: 位相群上のループ空間が点ごとの積に関してなす群
• ループ空間
• ループ代数
• 基本群: 閉道の基点を保つホモトピー類の全体が道の合成に関してなす群

参考文献

• Adams, John Frank (1978), Infinite Loop Spaces, Annals of mathematics studies, 90, Princeton University Press, ISBN 9780691082066 .

外部リンク

• Renze, John; Stover, Christopher; Weisstein, Eric W. "Loop". mathworld.wolfram.com (英語).
• loop in nLab
• Definition:Loop (Topology) at ProofWiki
• Voitsekhovskii, M.I. (2001), “Loop (in topology)”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Loop_(in_topology)