素数階乗

階乗（黄色）と素数階乗（赤）の値の推移

素数階乗（そすうかいじょう）は n# という記号で表される演算もしくは自然数 n の関数であり、2 以上 n 以下の素数の総乗をとったものである（ただし n ≧ 2）。例えば 10 以下の素数は 7, 5, 3, 2 であるので、10# = 7 × 5 × 3 × 2 = 210 である。とくに、小さい方から n 番目の素数を p_n と書けば、p_n# は 2 から p_n までの素数の積である。例：3 番目の素数は 5 であるので、p₃# = 5# = 5 × 3 × 2 = 30．

数学的性質

• 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1, 3, 7, 9 のいずれかに限られる。

5# = 30 以上の数に、7 以上の素数（一の位に 5 を含まない奇数）を掛けても、十の位が 5 や偶数になることはない。

• 素数が無数に存在することの証明の証明に使うことができる。

簡単な解説：最大の素数の存在を仮定し、それを p_max とおくと p_max# + 1 は p_max 以下の約数をもたない。したがって p_max# + 1 は素数であることになるが、これは p_max を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。

このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。

実際には、素数 p に対し p# + 1 は p よりも大きい素数のみの積で表されることになる。一例として、p として 13 を取った場合を示す。

p = 13

p# + 1 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509

上記のように 13# + 1 (= p# + 1) は 59 と 509 で素因数分解されるが、59 も 509 も 13 (= p) 以下の数ではなく、13 (= p) よりも大きな素数が得られる。

• 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。例：720 = 2² × 6¹ × 30¹

最初の20個の素数階乗数 p_n#

p₁# = 2# = 2
p₂# =3# = 6
p₃# = 5# = 30
p₄# = 7# = 210
p₅# = 11# = 2310
p₆# = 13# = 30030
p₇# = 17# = 510510
p₈# = 19# = 9699690
p₉# = 23# = 223092870
p₁₀# = 29# = 6469693230
p₁₁# = 31# = 200560490130
p₁₂# = 37# = 7420738134810
p₁₃# = 41# = 304250263527210
p₁₄# = 43# = 13082761331670030
p₁₅# = 47# = 614889782588491410
p₁₆# = 53# = 32589158477190044730
p₁₇# = 59# = 1922760350154212639070
p₁₈# = 61# = 117288381359406970983270
p₁₉# = 67# = 7858321551080267055879090
p₂₀# = 71# = 557940830126698960967415390

関連項目

• 階乗
• 階乗素数
• 素数階乗素数