共形場理論
共形場理論（きょうけいばりろん、Conformal Field Theory, CFT）とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。歴史的には1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初めて定式化された[1]。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。
共形変換に対する不変性はWard-Takahashi恒等式を要請し、これをもとにエネルギー-運動量テンソル（あるいはストレステンソル）に関する保存量が導出される。またエネルギー-運動量テンソルを展開したものは、Virasoro代数と呼ばれる無限次元リー代数をなし、理論の中心的役割を果たす。
共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d次元＋時間1次元の時空間ではリー群SO(d+1,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+3)(d+2)/2個あり、その内訳は以下のとおり。
- d(d-1)/2: d次元空間の回転
- d: d+1次元時空のローレンツブースト（時間軸と空間軸を2軸に取った回転）
- d+1: d次元空間の並進+時間推進
※以上が、部分群としてのポアンカレ群の生成子をなす。
- d+1: d+1次元時空の特殊共形変換（反転×平行移動×反転）
- 1: スケール変換（計量の目盛りの変更）
2次元共形場理論
2次元共形場理論で言及するのは次のような場合である。
一般に共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元群である。しかし、空間1次元＋時間1次元(d=1)の場合に限り、共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。 この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子との交換関係にあり、相関関数で記述できる。そもそも場の理論は、場の演算子の積の真空期待値である相関関数で記述される。したがって、2次元共形場理論ではこの相関関数の振る舞いをVirasoro代数とWard-Takahasi恒等式から厳密に求めることができる（可解である）。可解である2次元共形場理論は、2次元統計系あるいは1+1次元量子系を理解する上で強力な武器となっている。例えば、超弦理論の第1量子化は共形場理論で記述されるが、その理由は弦の時間発展がまさに上記の1+1次元量子系だからである。
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参考文献
- Di Francesco; Mathieu, Sénéchal (1997). Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. ISBN 9780387947853
参照
- ^ Belavin, A. A.; Polyakov, A. M.; Zamolodchikov, A. B. (1984). “Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory”. Nuclear Physics B 241 (2): 333-380. doi:10.1016/0550-3213(84)90052-X.
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