交換関係 (量子力学)

より一般的な導入として、交換子も参照

交換関係（こうかんかんけい、Commutation relation）は演算子としてあらわされた物理量が満たす量子力学特有の関係。

定義

二つの演算子（A, B とする）に対して、

$AB-BA\equiv [A,B]$

を交換子 (commutator) と言う。交換子も演算子であり、特にA, Bがともにエルミートであるとき、交換子は歪エルミートとなる。量子力学において、この交換子を規定する関係が交換関係である。

普通の数はかける順序を逆にしても値は同じだが、量子力学における演算子は必ずしもそうではなく、[A, B ] が0にならない場合がある。 [A, B ] = 0 のとき、A と B は可換である、あるいは A と B は交換するという。 [A, B ] ≠ 0 のとき、A と B は非可換である、あるいは A と B は交換しないという。

性質

交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。

$[A,A]=0\,$
$[A,B]=-[B,A]\,$ 　（交代性）
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]\,$ 　（線形性）
$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]\,$ 　（ライプニッツ則）
$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A]B]=0\,$ 　（ヤコビの恒等式）

正準交換関係

演算子には物理量に対応するものがあり、特に正準共役な変数同士の交換関係を正準交換関係（Canonical Commutation Relations；CCR）と言う。正準共役な関係にある、座標と運動量において、座標を q_i, 運動量を p_j とすると、

[q_{i},p_{j}]=q_{i}p_{j}-p_{j}q_{i}=i\hbar \delta _{ij}

という交換関係が成り立つ（ $\hbar =h/2\pi$ でhはプランク定数）。勿論、古典論では上記の結果はゼロ（[q, p] = 0）となる。

反交換関係

$AB+BA\equiv \{A,B\}$

を反交換子(anticommutator) といい、これから規定される関係を、反交換関係 と言う。特に正準共役な変数同士の反交換関係を正準反交換関係（Canonical Anticommutation Relations；CAR）と言う。 $[A,\,B]_{+}$ という表式もしばしば用いられる。反交換子もまた演算子であり、特にA, Bがともにエルミートであるとき、反交換子もまたエルミートとなる。反交換関係はフェルミ粒子などを扱う際に用いられる。