オイラー積分

数学に於いて、オイラー積分（オイラーせきぶん, Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルに拠って研究された積分。 第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルに拠って与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、$\Re (x)>0$, $\Re (y)>0$を満たす$x$, $y$に対して、

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、$\Re (z)>0$を満たす$z$に対して、

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数$l$, $m$, $n$に対して、

$\mathrm {B} (l,m)={(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}$

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

という表示も在る。

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• レオンハルト・オイラー
• 階乗
• ガンマ関数
• ベータ関数
• 特殊関数
• 超幾何関数