直交関数列

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数学において直交関数列(ちょっこうかんすうれつ、: orthogonal functions)とは互いに直交する関数列の事である。

定義[編集]

区間(α, β) (-∞≤α<β≤ ∞)上で定義された複素数値関数f(x), g(x)に対し


\langle f, g \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) g^{\ast}(x) \, dx

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

(α, β)上の複素値関数の列{φn(x )}が、この内積に対し、互いに直交し、


\langle \phi_m, \phi_n \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! \phi_m(x) \phi_{n}^{\, \ast}(x) \, dx = 0
\quad  (m \neq n)

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが1、すなわち

 ||\phi||^2 = \int_{\alpha}^{\beta} \! |\phi_n (x)|^2  \, dx=1

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列{φn(x )}とある関数w (x )≥0に対し、{(w (x ))1/2φn(x )}が直交関数列をなし、


\int_{\alpha}^{\beta}\phi_m(x)\phi_n(x) w(x) dx = 0 \quad (m \neq n)

であるとき、この関数列を重み(荷重)w (x )の直交関数列という。

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三角関数形[編集]

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間[0, π]で直交関数系を成す。

  • 
\int_0^{\pi} \! 1 \, dx = \pi
  • 
\int_0^{\pi} \! 1 \cdot \cos{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \cdots)
  • 
\int_0^{\pi} \! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots)
正弦関数系

正弦関数による列{sinx, sin2x, sin3x,…}は区間[0, π]で直交関数系を成す。

  • 
\int_0^{\pi} \! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots)
三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…}は[-π, π]で直交関数系を成す。

  • 
\int_{-\pi}^{\pi} \! 1 \, dx = 2\pi
  • 
\int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx 
= \pi \delta_{mn} \quad (m,n= 1, 2, \cdots)
  • 
\int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot  \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot  \sin{nx}\, dx 
= 0 \quad (n= 1, 2, \cdots)
  • 
\int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (m,n= 1, 2, \cdots)

エルミート多項式[編集]

関係式


H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \quad (n=0,1,2,\cdots)
  

で定義されるエルミート多項式は区間(-∞, ∞)上の重みe-x2/2の直交関数系であり、


\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_m(x)H_n(x) \, dx= n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots)
  

を満たす。

ルジャンドル多項式[編集]

関係式


P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \quad (n=0,1,2,\cdots)
  

で定義されるルジャンドル多項式は区間[-1,1]上の直交関数系であり、


\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x) \, dx= \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots)
  

を満たす。

ラゲール多項式[編集]

関係式


L_n(x)=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) \quad (n=0,1,2,\cdots)
  

で定義されるラゲール多項式は区間[0,∞)上の重みe-xの直交関数系を成し、


\int_{0}^{\infty} \! e^{-x} L_m(x)L_n(x) \, dx=  \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots)
  

を満たす。

チェビシェフ多項式[編集]

関係式


T_n(x)=\cos{(n \operatorname{arccos}x)} \quad (n=0,1,2,\cdots)
  

で定義されるチェビシェフ多項式は区間[-1,1]上の重み(1-x2)-1/2の直交関数系を成し、


\int_{-1}^1  \!\! \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  T_m(x)T_n(x) \, dx=  \frac{\pi}{2} \delta_{mn} \quad (m,n = 0,1,2,\cdots)
  

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式[編集]

関係式

C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]  

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間[-1,1]上の重み(1-x2)α-1/2の直交関数系を成し、


\int_{-1}^1 \! (1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} C_m^{(\alpha)}(x)C_n^{(\alpha)}(x)  \, dx=  \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots)
  

を満たす。

完備関数列[編集]

直交関数列で、

\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\cdots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0

となるもののことを言う。

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\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\cdots\}  (三角関数列

関連項目[編集]