直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions）とは互いに直交する関数列の事である。

定義

区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し

$\langle f,g\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g^{\ast }(x)\,dx$

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

(α, β) 上の複素値関数の列 {φ_n(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、

$\langle \phi _{m},\phi _{n}\rangle =\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}^{\ast }(x)\,dx=0\quad (m\neq n)$

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち

$\|\phi \|^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }|\phi _{n}(x)|^{2}\,dx=1$

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 {φ_n(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))^1/2φ_n(x)} が直交関数列をなし、

$\int _{\alpha }^{\beta }\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)w(x)\,dx=0\quad (m\neq n)$

であるとき、この関数列を重み（荷重）w(x) の直交関数列という。

例

三角関数形

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• $\int _{0}^{\pi }1\,dx=\pi$

• $\int _{0}^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )$

• $\int _{0}^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

• $\int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

• $\int _{-\pi }^{\pi }1\,dx=2\pi$

• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=\pi \delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )$

• $\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos {nx}\,dx=\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (n=1,2,\dots )$

• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos {mx}\cdot \sin {nx}\,dx=0\quad (m,n=1,2,\dots )$

直交多項式

詳細は「直交多項式」を参照

エルミート多項式

関係式

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e^−x2/2 の直交関数系であり、

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}H_{m}(x)H_{n}(x)\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ルジャンドル多項式

関係式

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ラゲール多項式

関係式

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\quad (n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e^−x の直交関数系を成し、

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}L_{m}(x)L_{n}(x)\,dx=\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

チェビシェフ多項式

関係式

$T_{n}(x)=\cos {(n\operatorname {arccos} x)}\quad (n=0,1,2,\dots )$　　

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^−1/2 の直交関数系を成し、

$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}T_{m}(x)T_{n}(x)\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式

関係式

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]$　　

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x²)^{α − 1/2} の直交関数系を成し、

$\int _{-1}^{1}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}C_{m}^{(\alpha )}(x)C_{n}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\delta _{mn}\quad (m,n=0,1,2,\dots )$　　

を満たす。

完備関数列

直交関数列で、

$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)e_{n}(x)dx=0\quad (n=1,2,\dots )\quad \Longrightarrow \quad f(x)=0$

となるもののことを言う。

例

$\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\dots ,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\dots \}$ （三角関数列）

関連項目

• フーリエ級数
• ルジャンドル多項式
• エルミート多項式