直交関数列

数学において直交関数列（ちょっこうかんすうれつ）とは互いに直交する関数列の事である。

定義

$\{e_0(x),e_1(x),e_2(x),e_3(x),\cdots,e_n(x),\cdots\}$

において内積が

$\int_{\alpha}^{\beta}e_n(x)e_m(x)dx=\begin{cases}0 & m\ne n \\ 1 & m=n \end{cases}$

となる関数列を直交関数列という。

例

$\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots\}\qquad (0,\pi)$

$\{\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\sin(4x),\cdots\}\qquad (0,\pi)$

$\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\cdots\}\qquad (0,2\pi)$　　（三角関数列）

$P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dt^n}(t^2-1)^n\qquad((-1,1)\quad n=0,1,2,\cdots)$　　（Legendre多項式）

正規直交関数列

定義

直交関数列のうちノルムが1であるもの。つまり

$\qquad\int_{\alpha}^{\beta}e_n^2(x)dx=1$

となるものである。

完備関数列

直交関数列で、

$\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\cdots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0$

となるもののことを言う。

例

$\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\cdots\}$　　（三角関数列）

関連項目

• フーリエ級数
• ルジャンドル多項式
• エルミート多項式