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F){\sqrt {-g}}\,d^{4}x} から導かれる電磁場 A の運動方程式は 0=δS[A]δAμ(x)=∂L∂Aμ−g−∂ν[∂L∂(∂νAμ)−g]=∂L∂Aμ−g−2∂ν[∂L∂Fνμ−g]=[∂L∂Aμ−2Dν∂L∂Fνμ]−g{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac…

Fμν=∂μAν−∂νAμ{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} と定義される。 ここで A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル Aμ=(ϕc,A), Aμ=ημνAν=(−ϕc…

質的にゲージ群の非可換性を源としていることが分かる。 [脚注の使い方] ^ 大域的ゲージ変換の場合。局所ゲージ変換でのグルーオンの変換性はAμ(x)→U(x)Aμ(x)U−1(x)+igU(x)(∂μU−1(x)){\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow U(x)A_{\mu…

位置 Xi にある粒子が電荷 qi を帯びているとき、作用汎関数は Sint[X,A]=∑iqi∫dXiμdλAμ(Xi)dλ=∫∑iqi∫dλ(dXiμdλδ4(Xi(λ)−x))Aμ(x)d4x{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum…

年に用いた。アインシュタインはこの記法を自分の「数学における最大の発見」と（冗談めかして）言ったという。 4 次元空間におけるベクトル aμ と bμ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、aμ bμ と記述される。これは、具体的に書けば a μ b μ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3…

が有限ならばこれは先に述べた有限直積と一致する。 標準射影 直積 ∏ Aλ に対し、各 Aλ をこの直積の直積因子と呼ぶ。各直積因子 Aμ (μ ∈ Λ) に対し、標準的に定まる全射 πμ:∏λ∈ΛAλ→Aμ;(aλ)λ∈Λ↦aμ{\displaystyle \pi _{\mu }\colon \prod _{\lambda \in…

^{4}\\\end{aligned}}} となる。 ここで、A~μ(x){\displaystyle {\tilde {A}}_{\mu }(x)} は A~μ(x)=Aμ(x)−1MA∂μπ(x){\displaystyle {\tilde {A}}_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)-{\frac {1}{M_{A}}}\partial…

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。 ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。 並進 xμ→x′μ=xμ+aμ{\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換 xμ→x′μ=Λμνxν{\displaystyle…

座標変換 xμ→x′μ{\displaystyle x^{\mu }\to {x'}^{\mu }} に対して、 Aμ→A′μ=∂x′μ∂xνAν{\displaystyle A^{\mu }\to {A'}^{\mu }={\frac {\partial {x'}^{\mu…

iγμ∂μψi−mψi−eAμQiγμψi=0{\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}-eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}=0} となる。第3項を右辺へ移行して iγμ∂μψi−mψi=eAμ…

真空における電磁場の伝播を記述する波動方程式は、ダランベール演算子を用いて、次のように表される。 ◻Aμ(x,t)=0{\displaystyle \Box A^{\mu }(\mathbf {x} ,t)=0} ここで Aμ はベクトルポテンシャル である。 クライン–ゴルドン方程式…

物質の質量が変わらないときは、4元運動量のミンコフスキー時空の内積は4元加速度 Aμ が 0 であることに一致する。加速度は運動量を質量でわったものの時間微分に比例する。 そのことから次のようになる。 pμAμ=pμddtημνpνm=12mddt|p|2=12mddt(−m2c2)=0.{\displaystyle…

ミンコフスキー時空上の座標xμに対する並進、ローレンツ変換、スケール変換、特殊共形変換は以下のようになる。 時空の並進 xμ→x′μ=xμ+aμ{\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+a^{\mu }} ローレンツ変換（時空の回転変換）…

}F^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}m^{2}A_{\nu }A^{\nu }} ここで、Aνは実ベクトル場で、Fμν≡∂μAν−∂νAμ{\displaystyle F_{\mu \nu }\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu…

DAμ(x)Dτ=vν∇νAμ.{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} A^{\mu }(x)}{\mathrm {D} \tau }}=v^{\nu }\nabla _{\nu }A^{\mu }.} vν{\displaystyle v^{\nu }}は流体の四元速度，Aμ(x){\displaystyle…

\cdot {\bf {A}}=0} を与えることによって達成される。ローレンツゲージの導入によってマクスウェル方程式は (1c2∂2∂t2−∇2)Aμ=jμ{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla…

度に比べて小さい速度では、相対論的変換による電場の方程式の変形に結び付けられる。 電場と磁場による表現では、共変性が見にくいため、4元ポテンシャル Aμ を考える。 A μ = ( ϕ / c , A ) ,   A μ = η μ ν A ν = ( ϕ / c , − A ) {\displaystyle…

\gamma }について）：(∨μ<γ(∧δ<γAμ,δ)){\displaystyle (\lor _{\mu <\gamma }{(\land _{\delta <\gamma }{A_{\mu ,\delta }})})}。ここで、∀μ:∀δ:∃ϵ<γ:Aμ,δ=Aϵ{\displaystyle \forall…

上の左ハール測度 μ と自己同型 φ があれば、φ−1(μ) (φ−1(dμ(x)) := dμ(φ(x))) はやはり左不変測度であり φ−1(μ) = aμ なる正定数がある。このとき、mod(φ) = a と記して "自己同型 φ の" 母数、モジュールなどと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（…

Korea.net News”. Korea.net (2007年5月5日). 2009年8月16日閲覧。 ^ 紀念日及節日實施辦法 ^ “¤µÓ¨àµ£¸` ±Ð§AÀx¿ú¯µ³Z”. News.gov.hk (2005年4月4日). 2009年8月16日閲覧。 ^ “香港郵政署長在「兒童郵票 ─…