擬微分作用素

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擬微分作用素(ぎびぶんさようそ、: pseudo-differential operator)とは、フーリエ変換を用いた微分作用素の一般形である。1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程ディリクレ形式英語版ポテンシャル理論との関わりも深い。物理学では量子力学量子統計力学と関係がある。

数学的定義[編集]

以下、x , \xi R^n の元とし、(x , \xi )R^{2n} の元を表す。

任意の多重指標 \alpha , \beta に対し、ある定数 C_{\alpha , \beta } が存在して、次の条件を満たす時、 C^{\infty} 関数 p(x , \xi)S_{\rho , \delta}^m クラスの表象と言う。但し、0 \leq \delta \leq \rho \leq 1 かつ \delta < 1 である。

|\partial_{\xi}^{\alpha } D_{x}^{\beta } p(x, \xi) | \leq C_{\alpha , \beta } \langle \xi \rangle^{m + \delta | \beta | - \rho | \alpha | }

u \in \mathcal{S} に対し、次の線形作用素 P : \mathcal{S} \to \mathcal{S} を(表象 p に対する)擬微分作用素と言う。

P u (x) = (2\pi )^{-n} \int e^{i x \xi } p(x , \xi ) \hat{u} (\xi ) d \xi

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微分作用素[編集]

m 次微分作用素


p(X, D_x) = \sum_{| \alpha | \leq m } a_{\alpha } (x) D_x^{\alpha } \ (a_{\alpha } \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))

に対し、m 次微分多項式


p(x , \xi) = \sum_{| \alpha | \leq m } a_{\alpha } (x) \xi^{\alpha }

\mathcal{S}^m_{1, 0} に属する。即ち、m 次微分作用素はm 次微分多項式を表象に持つ擬微分作用素である。

熱作用素[編集]

熱作用素


p(X, D_x) = \frac{\partial }{\partial x_1} - \sum_{2 \leq j \leq n} \frac{\partial }{\partial x_j}


p(x , \xi) = i \xi_1 - \sum_{2 \leq j \leq n} \xi_j^2

を表象に持つ。

分数的ラプラシアン[編集]

0 < \alpha \leq 2 とする。


p(x, \xi) = | \xi |^{\alpha } (= (\sum_{1 \leq j \leq n} \xi_j^2 )^{\alpha / 2})

とおくと、これを表象に持つ擬微分作用素が存在するが、それは


p(X, D_x) = \left[ - \sum_{1 \leq j \leq n} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} \right)^2 \right]^{\frac{\alpha }{2} } = (- \Delta )^{\frac{\alpha }{2} }

と表される。これを分数的ラプラシアン (fractional Laplacian) という。

(1−ラプラシアン)の平方根[編集]


p(x, \xi) = \sqrt{1 + \sum_{1 \leq j \leq n} \xi_j^2 }

\mathcal{S}_{1, 0}^1 に属する。これを表象に持つ擬微分作用素は、


p(X, D_x) = \sqrt{1 - \sum_{1 \leq j \leq n} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} \right)^2 } = \sqrt{1 - \Delta }

である。これは 1 - \Delta 平方根に相当するものであり \Lambda とも表される。\Lambda 偏微分方程式論でよく使われる。

性質[編集]

一対一対応[編集]

\mathcal{S}_{\rho, \delta }^m に属する表象 p(x, \xi) とそれに対応する擬微分作用素 p(X, D_x) は一対一に対応する。また、P(X, D_x) が与えられている時、その表象 p(x, \xi) は次の式で逆算される。


p(x, \xi) = e^{- i x \xi} P(e^{i x \xi })


参考文献[編集]

  • 熊ノ郷準 『擬微分作用素』 岩波書店〈数学選書〉、1974年10月30日ISBN 4-00-005225-X
  • Peterson, Brent E. (1983-11-01). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-differential Operators. Monographs and studies in mathematics. Pitman Advanced Pub. Program. ISBN 0273086006. 
  • Jacob, Niels (2005-07-21). Pseudo differential operators and Markov processes. Markov Processes and Applications v. III. Imperial College Press. ISBN 1860945686. 

関連項目[編集]