擬微分作用素

擬微分作用素（ぎびぶんさようそ、英: pseudo-differential operator）とは、フーリエ変換を用いた微分作用素の一般形である。1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・ディリクレ形式・ポテンシャル理論との関わりも深い。物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。

数学的定義

以下、$x , \xi$ を $R^n$ の元とし、$(x , \xi )$ で $R^{2n}$ の元を表す。

任意の多重指標 $\alpha , \beta$ に対し、ある定数 $C_{\alpha , \beta }$ が存在して、次の条件を満たす時、 $C^{\infty}$ 関数 $p(x , \xi)$ を $S_{\rho , \delta}^m$ クラスの表象と言う。但し、$0 \leq \delta \leq \rho \leq 1$ かつ $\delta < 1$ である。

$|\partial_{\xi}^{\alpha } D_{x}^{\beta } p(x, \xi) | \leq C_{\alpha , \beta } \langle \xi \rangle^{m + \delta | \beta | - \rho | \alpha | }$

各 $u \in \mathcal{S}$ に対し、次の線形作用素 $P : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ を（表象 $p$ に対する）擬微分作用素と言う。

$P u (x) = (2\pi )^{-n} \int e^{i x \xi } p(x , \xi ) \hat{u} (\xi ) d \xi$

例

微分作用素

$m$ 次微分作用素

$p(X, D_x) = \sum_{| \alpha | \leq m } a_{\alpha } (x) D_x^{\alpha } \ (a_{\alpha } \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$

に対し、$m$ 次微分多項式

$p(x , \xi) = \sum_{| \alpha | \leq m } a_{\alpha } (x) \xi^{\alpha }$

は $\mathcal{S}^m_{1, 0}$ に属する。即ち、$m$ 次微分作用素は$m$ 次微分多項式を表象に持つ擬微分作用素である。

熱作用素

熱作用素

$p(X, D_x) = \frac{\partial }{\partial x_1} - \sum_{2 \leq j \leq n} \frac{\partial }{\partial x_j}$

は

$p(x , \xi) = i \xi_1 - \sum_{2 \leq j \leq n} \xi_j^2$

を表象に持つ。

分数的ラプラシアン

$0 < \alpha \leq 2$ とする。

$p(x, \xi) = | \xi |^{\alpha } (= (\sum_{1 \leq j \leq n} \xi_j^2 )^{\alpha / 2})$

とおくと、これを表象に持つ擬微分作用素が存在するが、それは

$p(X, D_x) = \left[ - \sum_{1 \leq j \leq n} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} \right)^2 \right]^{\frac{\alpha }{2} } = (- \Delta )^{\frac{\alpha }{2} }$

と表される。これを分数的ラプラシアン (fractional Laplacian) という。

（1−ラプラシアン）の平方根

$p(x, \xi) = \sqrt{1 + \sum_{1 \leq j \leq n} \xi_j^2 }$

は $\mathcal{S}_{1, 0}^1$ に属する。これを表象に持つ擬微分作用素は、

$p(X, D_x) = \sqrt{1 - \sum_{1 \leq j \leq n} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} \right)^2 } = \sqrt{1 - \Delta }$

である。これは $1 - \Delta$ の平方根に相当するものであり $\Lambda$ とも表される。$\Lambda$ は偏微分方程式論でよく使われる。

性質

一対一対応

$\mathcal{S}_{\rho, \delta }^m$ に属する表象 $p(x, \xi)$ とそれに対応する擬微分作用素 $p(X, D_x)$ は一対一に対応する。また、$P(X, D_x)$ が与えられている時、その表象 $p(x, \xi)$ は次の式で逆算される。

$p(x, \xi) = e^{- i x \xi} P(e^{i x \xi })$

参考文献

• 熊ノ郷準 『擬微分作用素』 岩波書店〈数学選書〉、1974年10月30日。ISBN 4-00-005225-X。
• Peterson, Brent E. (1983-11-01). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-differential Operators. Monographs and studies in mathematics. Pitman Advanced Pub. Program. ISBN 0273086006. 
• Jacob, Niels (2005-07-21). Pseudo differential operators and Markov processes. Markov Processes and Applications v. III. Imperial College Press. ISBN 1860945686. 

関連項目

• 偏微分方程式
• 確率過程
• ポテンシャル理論
• マルコフ過程
• フーリエ積分作用素
• フーリエ乗積作用素
• ヒルベルト変換