抜き打ちテストのパラドックス

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抜き打ちテストのパラドックス(ぬきうちテストのパラドックス)とは、予測に関するパラドックスである。「予測できない時に起こる」と伝えられた未来の出来事について、いつ起こるか予測しようとした場合に生じる。

 「死刑囚のパラドックス」あるいは「予期しない絞首刑のパラドックス」とも呼ばれる。

内容[編集]

ある教師が、学生たちの前で次のように予告した。

来週の月曜日から金曜日までのいずれかの日にテストを1回行う。
抜き打ちテストであり、テストが行われる日がいつかはわからない。

これを聞いたある学生は、以下の推論の結果「抜き打ちテストは不可能である」という結論に達した。

  1. まず、金曜日に抜き打ちテストがあると仮定する。すると、月曜日から木曜日まで抜き打ちテストがないことになるから、木曜日の夜の時点で、翌日(金曜日)が抜き打ちテストの日であると予測できてしまう。これでは抜き打ちとは言えないので、金曜日には抜き打ちテストを行うことができないということが分かる。
  2. 次に、木曜日に抜き打ちテストがあると仮定する。すると、月曜日から水曜日まで抜き打ちテストがないことになるから、水曜日の夜の時点で木曜日か金曜日のどちらかの日に抜き打ちテストがあることが予測できるが、1. により金曜日には抜き打ちテストがないことが既に分かっているので、翌日(木曜日)が抜き打ちテストの日であると予測できてしまう。よって、木曜日にも抜き打ちテストを行うことができないということが分かる。
  3. 以下同様に推論していくと、水曜日火曜日月曜日にも抜き打ちテストを行うことができないということが分かる。したがって、「先生はいずれの日にも抜き打ちテストを行うことができない」という結論になる。

しかし翌週、テストは水曜日に行われた。上記の推論にもかかわらず、学生は全くテストの日を予測できなかった。

すべては教師の予告通りになった。

分析[編集]

このパラドックスは、「教師の宣言を信じれば不整合になり、信じなければ誤った信念を抱くことになる」という構造を持っている。

まず教師の宣言は、


Ⅰ:「予告した期間(来週の月曜日から金曜日)のいずれかの日に必ずテストを実施する」

Ⅱ:「学生が推論により予測できる日には、テストを実施しない」


という二つの命題に分割できる。

・学生が教師の宣言を信じる場合:学生はⅠとⅡの双方を信じることになるが、上述したような推論により、「ⅠとⅡは両立しない」という結論を導けるので、矛盾をきたす。

・学生が教師の宣言を信じない場合:ⅠかⅡのいずれかが間違いであることを信じることになる。つまり、「予測可能な日にテストを行う」か「全くテストを行わない」のどちらかを信じることになるが、どちらともが起こりうるため、どちらが実際に起こるかは学生には予測できない。そのため、教師がいつ試験を実施しても、学生にとっては予測不可能な試験が行われることになる(したがって、「ⅠかⅡのいずれかが間違い」という信念は偽になる)。

重要なのは、矛盾が生じるのはⅠとⅡを満たすテストが行われると"信じた"ときであって、ⅠとⅡ自体がただちに矛盾を引き起こすわけではないということである(このことは、現実に抜き打ちテストが行われ得ることからも明らかであろう)。そのような意味で、このパラドックスは信念を扱う様相論理的なパラドックスであるといえる。

次のように、より短い文章で、同様のパラドキシカルな状況を引き起こすことができる。


「明日、抜き打ちテストを行う。」 


これはムーアのパラドックスの変種であるといえる。


分析2[編集]

 生徒が、最初に「金曜にテストを行なうことはできない」という結論を下した時点で、金曜にテストが行なわれれば抜き打ちテストとなることが決定している。テストの日を推論すると、その推論を放棄せざるを得なくなるという構造になっている。

 金曜にテストが行なわれた場合、「私は昨夜の時点でテストは今日だと予測していました。だから、このテストは抜き打ちテストではありません」と言えば、先生も確かにその通りだと認めるほかない。

 つまり、「金曜に行なわれるテストは抜き打ちテストではない」という推論は正しい。そして、これにより前提条件に矛盾があることが判明したのだから、これ以降のいかなる推論も意味がなく、「金曜に抜き打ちテストを行なうことはできない」とすることはできない。

起源[編集]

 ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン(『マインド』1953年1月号)によると、1940年代の初めに「絞首刑を宣告された男のパズル」というスタイルで、流布されるようになったのが起源らしい。

 1943年か1944年にスウェーデン放送会社が、来週民間防衛練習が行なわれて民間防衛隊の能力がテストされると放送したが、当日の朝になっても誰もそれを予言することができなかったという。これをマーティン・ガードナーに報告したレナート・エクボン自身は、このパラドックスがスウェーデンの民間防衛放送より古いと信じていた。

 ドナルド・ジョン・オコンナーが初めて印刷物(『マインド』1947年8月号)でこのパラドックスを論じた。次の週にA級灯火管制を行なうと告げた軍司令官の話になっている。

 オコンナーのものを含む初期の3つの論文では(灯火管制であろうと絞首刑であろうと)実施不可能という結論で終わっているが、マイケル・スクリブンが『マインド』1951年7月号で、初めて絞首刑が実施可能であることを示した。

参考文献[編集]


関連項目[編集]