心射方位図法

心射方位図法の説明。左から、投影の説明、北極が投影面の接点の場合の投影図、任意点が接点の場合、赤道上が接点の場合。

心射方位図法（しんしゃほういずほう）は、すべての大円（大圏コース）を直線に投影する図法である。単に心射図法、あるいは大圏図法とも言う。

概要

すべての大円を直線に投影するため、実際の2地点間の最短経路は、地図上でも最短距離になる。これは、光源を地球の中心に置き（故にすべての光線は表面に垂直に交わる）、地球表面に接する面に投影することによって可能になる。接点において歪みは最小になる。半球より狭い範囲が、有限の地図に投影可能である。

子午線と赤道は大円なので、これらは常に直線になる。

• 片方の極に接点がある場合、子午線は放射状で等間隔な直線である。赤道はすべての方向の無限遠点にある。緯線は同心円となる。
• 接点が赤道上にある場合、子午線は赤道に垂直な直線であるが、等間隔ではない。赤道は、それら子午線すべてに垂直な直線である。緯線は双曲線になる。
• その他の場合、子午線は極から出る放射線で、等間隔ではない。赤道は一つの子午線に垂直な直線である(つまり等角写像ではない)。

北極を中心とした心射方位図法

ほかの方位図法と同様に、接点からの角度は保たれている。接点からの地図上の距離をr(d)とし、実距離を関数dとすると、

$r(d) = C \tan (d / R)$

となる。ここで、Rは地球半径である。放射方向の縮尺は

$r'(d) = \frac{C}{2R \cos^2(d/2R)}$

となり、その垂直方向の縮尺は

$\frac{C}{2R \ cos(d/2R)}$

である。これらから、垂直方向の縮尺は外側ほど大きくなるが、放射方向の縮尺はもっと大きくなる事がわかる。

用途

上述の通り、極めて簡単な図法ではあるものの、中心から離れると歪みが非常に大きく、正積でもないので、広範囲を描くのに多用される図法ではない。しかし「大円が必ず直線になる」という特徴を活用できる場合には採用される。

• 通常の海図はメルカトル図法が多いが、最短コース（大圏コース）を求めるための心射図法による補助的な小縮尺地図（大圏航法図）がある。
• 心射方位図法は、地震学で使われる。地震波は大円方向に伝播するからである。
• 電波の信号も大円方向に伝播するので、海軍などでも、発信源の方向探索のために使われる。
• 星図においては、流星観測用として用いられる。流星は直線状に観測される事が多く、心射方位図法上ならば長い経路でも直線として記入出来る。
• もともと、半球までしか表現できないので、投影面1枚では地球全体を表現できない。ただし、地球に外接する多面体を用意し、その表面に投影し展開することで、平面に地球全体を表現できる。ダイマクション地図をはじめとして、展開図型の世界地図では最もよく使われる投影法である。

歴史

心射方位図法は、タレースによって紀元前6世紀に開発された、最も古い地図の投影法であると言われている。

1946年 リチャード・バックミンスター・フラーは、正八面体版のダイマクション地図に心射方位図法を用いた。 1954年の正二十面体版のThe AirOcean World Map（空海一体世界地図）と題して発行された地図が、今日では有名である。

参考文献

Snyder, John P. (1987). Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C.  この論文は、アメリカ地質研究所(USGS)のページからダウンロードできる。

関連項目

• ダイマクション地図
• 正距方位図法

外部リンク

• http://atlas.cdx.jp/projection/prj01.htm
• http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjPoly/projPoly.html (英語) 心射方位図法を用いた多面体地球儀の展開図
• http://www.bfi.org/node/25 (英語) バックミンシタ−フラー研究所のフラー投影の記述
• http://erg.usgs.gov/isb/pubs/MapProjections/projections.html#gnomonic (英語) アメリカ地質調査所の地図投影法の説明
• http://exchange.manifold.net/manifold/manuals/6_userman/mfd50Gnomonic.htm (英語)
• http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html (英語)
• http://members.shaw.ca/quadibloc/maps/maz0201.htm (英語)
• 一般的な地図投影法の例と特徴の表(英語) radicalcartography.netより