メルカトル図法

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1569年にメルカトルが作成した地図

メルカトル図法（-ずほう）は1569年、フランドル出身の地理学者ゲラルドゥス・メルカトル(Gerardus Mercator, 1512年～1594年)がデュイスブルク（ドイツ）で発表した地図に使われた地図投影法。図の性質、作成方法から正角円筒図法ともいう。等角航路が直線で表されるため、海図・航路用地図として使われてきた。メルカトルのオリジナルというわけではなく、ドイツのエッラープが1511年に作成した地図にはすでに使われていた。

なお、メルカトルをオランダ人とするのは誤りである。現在のベルギーの、アントワープに近いルペルモンドで生まれている。

[編集] 特長

メルカトル図法

この図法は地球儀を円筒に投影したもので、経線は平行直線、緯線は経線に直交する平行直線になる。ところで、正角性を維持するためには横方向の拡大率と縦方向の拡大率を一致させる必要がある。緯線はすべて赤道と同じ長さになるので、高緯度地方に向かうにつれ、実際（地球儀上の長さ）より拡大されている（横方向に拡大されている）。それに応じて縦方向（経線方向）も拡大させるのである。従って、高緯度に向かうにつれ、長さや面積が拡大されることになる。例えば緯度６０度では、緯線は赤道の２倍の長さになっているので、面積は４倍に拡大される。より高緯度のグリーンランドは実際より１７倍も拡大されている。

メルカトル図法の地図において、出発地と目的地との間に直線を引いて経線となす角度（「舵角」と言う）を測り、コンパスを見ながら常にその角度へ進むようにすれば必ず目的地に到着する。このコースは航程線（等角航路）と呼ばれ、多くの場合実際の最短距離（大圏コース）から大きく外れるが、舵取りが容易であることから、羅針盤の発明された時代から広く利用されてきた。なお、航程線が直線になるのは、経線が平行直線であり、正角図法だからである。

赤い円は同じ面積を示す

メルカトル図法は、角度は正しいが、方位や距離、面積に関しては不正確である。特に高緯度地方は拡大され、極は表現できない（原理的に「世界全図」を描くことはできない。なぜなら、もし極を描くとすれば、極も赤道と同じ長さで表現されるので、横方向に無限大に拡大されることになる。正角性を維持するためには縦方向にも無限大に拡大しなければならない。これは実際にはできなことなので、極を表現することはできないのである。メルカトルの「世界全図」という表現は厳密には誤りである）。メルカトル図法のように高緯度地方が拡大しないように、経線方向の伸び圧縮したのがミラー図法である。世界全図が表現できるようになったが、正角性は失われている。

[編集] 横メルカトル図法

ユニバーサル横メルカトル図法 (UTM) の概念図

メルカトル図法が赤道付近は正確に記述できる性質を利用して、投射する円筒を倒し任意の緯線で地球に接するようにした図法が横メルカトル図法であり、小縮尺の地図で広く用いられている。ランベルトが考案した。南北に長い地域の小縮尺地図に適している。横軸法で投影しているため、経線を等長線にできるからだ。

中縮尺の地形図には、地球全体を経度6度ごとに分けて投影したユニバーサル横メルカトル図法（UTM図法）がよく使われる。大縮尺地形図や地理情報システムなど精度を重んじる場合には、地球を回転楕円体とした場合の考慮が行われる。この場合のメルカトル図法はガウス・クリューゲル図法とも呼ばれる。

[編集] 投影法の表式

地図の中央の経度が λ₀ であるとき、経度 λ, 緯度 φ の点が投影されるメルカトル図法の地図上の点 x, y は次式で与えられる。

$\begin{align} x & = \lambda - \lambda_0 \\ y & = \ln \left\{\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right\} \\ & = \sinh^{-1} \left( \tan\varphi\right) \\ \end{align}$