巡回多元環

数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、英: cyclic algebra）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。

定義[編集]

可換体 $F$ 上の多元環 $A$ が巡回多元環であるとは、それが $F$ 上 $n$ -次の正規単純環であって、かつ $n$ -次の巡回部分体を持つときに言う^[1]。

具体的に、体の $n$ 次巡回拡大 $L/K$ に対し、そのガロア群 $Gal(L / K)$ の生成元を $σ$ とし、 $β \in K \times$ をとる。 $β$ , $σ$ の定める $K$ 上の巡回多元環 $(β, L / K, σ)$ は、 $n$ 個の文字 ${j 0, j 1, j 2, \dots, j n -1}$ を基底に持つ $n$ 次元 $L$ -ベクトル空間 $A = Lj 0 \oplus Lj 1 \oplus \dots \oplus Lj n -1$ ( $\oplus$ は直和) を台となる線型空間とし、 $A$ に乗法を一般の元

x=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}j^{k},y=\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}j^{k}\ (x_{k},\,y_{k}\in L)

に対して

xy=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{l=0}^{n-1}x_{k}\sigma ^{k}(y_{l})j^{k+l}\quad ({\text{where }}j^{n}=\beta \in K^{\times })

と定めたものである。これは $j = j 1$ に対する以下の二条件

指数法則 $j k \cdot j l = j k + l$ を満たす。
$λ \in L$ に対し交換則 $j \cdot x = σ (x)\cdot j$ を満たす。

を線型に拡張したものとして与えられる。特に、 $j 0 = 1 A$ は $A$ の乗法単位元（したがって、 $L = Lj 0 \subset A$ ）。また、 $σ$ は $K$ の元を動かさない $L$ の非自明な自己同型であるから、 $K$ の元は $j$ と可換。これにより $A = (β, L / K, σ)$ が $K$ 上中心的であることが従う。

性質[編集]

$n$ 次巡回拡大 $L/K$ から定まる $n$ 次巡回多元環の $K$ 上の次数は $n 2$ である。
巡回多元環 $(β, L / K, σ)$ は $K$ 上の中心的単純環で $L$ で分解する。すなわち、 $n$ 次巡回多元環 $(β, L / K, σ)$ と $L$ との $K$ -多元環のテンソル積は $L$ 上 $n$ 次の全行列環 $Mat(n, L)$ に $L$ -多元環同型: $(\beta ,L/K,\sigma )\otimes _{K}L\simeq \operatorname {Mat} (n,L)$ である。
$K$ の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環 $(β, K (\sqrt α)/ K, σ)$ は $(α, β)$ -型四元数環である。ただし、 $α$ は $K$ の平方元でなく、 $σ$ は $σ (\sqrt α) = - \sqrt α$ を満たす $K$ -同型。

巡回多元環 $(β, L/K, σ)$ は適当な $c \in L*$ に対して $β = N L/K (c)$ となるとき行列環 $M n (K)$ に同型である^[2]^:133^[3]^{(Theorem 2.6.20(i))}。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる^[4]。
二つの巡回多元環 $(β, L/K, σ)$ , $(γ, L/K, σ)$ が同型となるための必要十分条件は、 $L*$ の適当な元 $c$ が存在して $β = γ \cdot N L/K (c)$ と書けることである^[2]^:133。
巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である^[3]^{(Theorem 2.6.20(ii))}。
体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群のシューア乗因子（英語版）^[5]）の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: en:Brauer group#Cyclic algebras)

一般化[編集]

巡回多元環は、2-コサイクル（因子団（英語版））に対する接合積（英語版） (crossed product algebra)^[6] と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である^[7]^{:textcyclic+algebra}）。接合積は群環の一般化でもある。

注[編集]

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注釈[編集]

出典[編集]

^ Albert 1939, p. 74.
^ ^a ^b Кострикин 1996.
^ ^a ^b Jacobson 1996.
^ Oggier, Belfiore & Viterbo 2007, p. 57.
^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Schur multiplicator”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 , Schur multiplier in nLab
^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Cross product”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter, eds. (2002), The Concise Handbook of Algebra, Springer Science & Business Media, ISBN 9780792370727

参考文献[編集]

Albert, A. A. (1939), Structure of Algebras, American Mathematical Society colloquium publications, 24, American Mathematical Soc., ISBN 9780821810248
Кострикин, А. И. (1996), Algebra IX: Finite Groups of Lie Type. Finite-Dimensional Division Algebras, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570387, ISSN 0938-0396
Jacobson, N., Finite-Dimensional Division Algebras Over Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften S, 233, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540570295
Oggier, F.; Belfiore, J.-C.; Viterbo, E. (2007), Cyclic Division Algebras: A Tool for Space-Time Coding, Foundations and trends in communications and information theory, Now Publishers Inc, ISBN 9781601980502