ノルム (体論)

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体論において、ノルム (norm) は、の拡大(とくにガロア拡大などの代数拡大)に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。

定義[編集]

の有限次元拡大 L / K に対し、L の元 α のノルム NL/K(α) は以下のように定義される。

KL を含む代数閉包 K^ を固定し、σi: LK^ (1 ≤ in) を K の元を固定する同型の全体とするとき

N_{L/K}(\alpha) := \sigma_1(\alpha)\cdots\sigma_n(\alpha).

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L を複素数体 C, K を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = a + ibに対して

N_{\mathbb{C/R}}(\alpha) 
 = \alpha \bar{\alpha} 
 = |\alpha|^2 
 = a^2 + b^2

が拡大 C / R に関する α のノルムである。

性質[編集]

  • 拡大 L / K について、L の任意の元 α に対し、NL/K(α) は K の元になる。
  • 拡大 L / KL の元 α, β に対し
    • N_{L/K}(\alpha\beta) = 
 N_{L/K}(\alpha)\cdot N_{L/K}(\beta).
  • 拡大の列 L / M / KL の元 α に対し
    • N_{L/K}(\alpha) = N_{L/M}(\alpha)\cdot N_{M/K}(\alpha).
  • ヒルベルトの定理 90: 体の拡大 L / K が有限次巡回拡大でそのガロア群が σ で生成されるとき、以下の 2 つの条件が同値である。
    1. NL/K(α) = 1.
    2. α = β / σ(β) を満たす L の元 β が存在する。

一般化[編集]

有限群 GG 上の加群 M に対して、写像

N_G: M \to M;\,x \mapsto \sum_{g\in G} gx

G-加群 Mノルム写像という。x の "ノルム"

\sum_{g\in G} gx

G の作用に対して不変である。すなわち、MG-不変な元全体のなす部分加群を MG とあらわすと Im(NG) ⊂ MG が成り立つ。

ガロア拡大 L / K に対して、乗法群 L* をガロア群 G = Gal(L / K) 上の加群と見なすとノルム写像 NG は拡大のノルム NL/K となる。

関連項目[編集]