圧縮 (関数解析学)

数学の関数解析学の分野において、あるヒルベルト空間からある部分空間 K への線型作用素 T の圧縮（あっしゅく、英: compression）とは、次の作用素のことを言う。

$P_{K}T\vert _{K}:K\rightarrow K.$

ここで $P_{K}:H\rightarrow K$ は K の上への直交射影である。これは全体のヒルベルト空間上のある作用素から、K 上のある作用素を得るために自然に用いられる。K が T についての不変部分空間であるなら、T の K への圧縮は k を Tk へ写す制限 K→K である。

より一般に、ヒルベルト空間 $H$ 上のある線型作用素 T と、$H$ の部分空間 $W$ 上のある等長作用素 V に対して、T の $W$ への圧縮は次のように定義される。

$T_{W}=V^{*}TV:W\rightarrow W.$

ここで $V^{*}$ は V の共役作用素である。T が自己共役作用素であるなら、圧縮 $T_{W}$ もまた自己共役作用素である。V が恒等作用素 $I:W->H$ で置き換えられるとき、$V^{*}=I^{*}=P_{K}:H->W$ となり、上述の特殊な定義が得られる。

関連項目

• 伸張

参考文献

• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Second Edition, Springer-Verlag, 1982.