ワッサースタイン計量

数学の分野におけるワッサースタイン計量（ワッサースタインけいりょう、英: Wasserstein metric）とは、与えられた距離空間 M 上の確率分布の間に定義される距離函数である。

直感的に、M 上に堆積した「汚れ」の単位量として各分布を見なすとき、ワッサースタイン計量とは、一つの堆積を別の物へと移すときにかかる「コスト」の最小である。そのようなコストは、移されるべき汚れの量に、移す距離を掛けた値であるとされる。このアナロジーに従い、この計量は計算機科学の分野においてEMD（英語版）（earth mover's distance）として知られている。

「ワッサースタイン計量」という名前は、この概念を1969年に導入したロシアの数学者レオニード・ワッサースタイン（英語版）の名にちなみ、1970年にローランド・ドブルシン（英語版）によって付けられた。多くの英語の出版物においてはドイツ語のスペル "Wasserstein" が用いられている（これは、"Vasershtein" という名がドイツに起源を持つことに起因している）。

定義 [編集]

(M, d) を、M 上のすべての確率測度がラドン測度であるような距離空間（いわゆるラドン空間）とする。p ≥ 1 に対し、有限 p 次モーメントを備える M 上のすべての確率測度 μ の系を P_p(M) で表す。すなわち、そのような μ は M 内のある x₀ に対して

$\int_{M} d(x, x_{0})^{p} \, \mathrm{d} \mu (x) < +\infty$

を満たすようなものである。このとき、P_p(M) に含まれる二つの確率測度 μ と ν の間のワッサースタイン計量（ワッサースタイン距離）は、

$W_{p} (\mu, \nu):=\left( \inf_{\gamma \in \Gamma (\mu, \nu)} \int_{M \times M} d(x, y)^{p} \, \mathrm{d} \gamma (x, y) \right)^{1/p}$

で定義される。ここで Γ(μ, ν) は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺 μ と ν を備える M × M 上のすべての測度の系を表す（集合 Γ(μ, ν) はまた μ と ν のすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる）。

上述の距離は通常 W_p(μ, ν) （"Wasserstein"　の綴りを好む研究者によって）、あるいは ℓ_p(μ, ν) （"Vasershtein" の綴りを好む研究者によって）の記号によって表される。この記事の残りの部分では W_p を使用する。

ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。

$W_{p} (\mu, \nu)^{p} = \inf \mathbf{E} \big[ d( X , Y )^{p} \big].$

ここで E[Z] は確率変数 Z の期待値を表し、下限はそれぞれ周辺 μ と ν を備える確率変数 X と Y のすべての結合分布に対して取られる。

応用 [編集]

ワッサースタイン計量は、一つの変数がもう一方の（確率論的あるいは決定論的に）非一様な小さい摂動によって得られるような、二つの変数 X と Y の確率分布を比較する際に自然に用いられる。

例えば計算機科学の分野においては、二つのデジタル画像の色ヒストグラム（英語版）といった離散分布を比較する際に、ワッサースタイン計量 W₁ が広く用いられている。詳細についてはEMD（英語版）を参照されたい。

性質 [編集]

距離構造 [編集]

W_p は、P_p(M) 上の距離の公理をすべて満たすことが示される。さらに、W_p についての収束は、通常の測度の弱収束（英語版）に初めの p 次モーメント収束を加えたものと同値である。

W₁ の双対表現 [編集]

次に挙げる W₁ の双対表現は、カントロヴィチとルビンスタインの双対定理（1958年）の特別な場合である：μ と ν が有界な台（英語版）を持つとき、

$W_{1} (\mu, \nu) = \sup \left\{ \left. \int_{M} f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \mbox{continuous } f : M \to \mathbb{R}, \mathrm{Lip} (f) \leq 1 \right\}$

が成立する。ここで Lip(f) は f に関する最小のリプシッツ定数を表す。

これを、ラドン計量の定義と比較する：

$\rho (\mu, \nu) := \sup \left\{ \left. \int_{M} f(x) \, \mathrm{d} (\mu - \nu) (x) \right| \mbox{continuous } f : M \to [-1, 1] \right\}.$

もし計量 d がある定数 C によって抑えられているなら、

$2 W_{1} (\mu, \nu) \leq C \rho (\mu, \nu)$

が得られる。したがって、ラドン計量における収束（M がポーランド空間（英語版）であるときの全変動収束に等しい）は、ワッサースタイン計量における収束を意味する。しかしその逆は一般には成り立たない。

可分性と完備性 [編集]

任意の p ≥ 1 に対し、計量空間 (P_p(M), W_p) が可分および完備であるための十分条件は、(M, d) が可分および完備であることである。

参考文献 [編集]

Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.
Jordan, Richard; Kinderlehrer, David and Otto, Felix (1998). “The variational formulation of the Fokker-Planck equation”. SIAM J. Math. Anal. 29 (1): 1–17 (electronic). doi:10.1137/S0036141096303359. ISSN 0036-1410. MR:1617171.
Rüschendorf, L. (2001), “Wasserstein metric”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

ワッサースタイン計量

目次

定義 [編集]

応用 [編集]