レヴィ–プロホロフ計量

数学の分野におけるレヴィ–プロホロフ計量（レヴィ–プロホロフけいりょう、英: Lévy–Prokhorov metric）とは、与えられた距離空間上の確率測度の系の上の計量のことを言う（すなわち、間隔の定義である）。フランスの数学者ポール・レヴィと、ソヴィエトの数学者ユリ・プロホロフ（英語版）の名にちなむ。レヴィ計量の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。

定義[編集]

$(M,d)$ を、ボレル完全加法族 ${\mathcal {B}}(M)$ を備える距離空間とする。可測空間 $(M,{\mathcal {B}}(M))$ 上の全ての確率測度の系を ${\mathcal {P}}(M)$ で表す。

部分集合 $A\subseteq M$ に対し、そのε-近傍（英語版）を

A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)

で定義する。ここで $B_{\varepsilon }(p)$ は $p$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の開球とする。

レヴィ–プロホロフ計量 $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ は、二つの確率測度 $\mu$ と $\nu$ の間の距離を

\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}

と定めることによって、定義される。

確率測度に対して $\pi (\mu ,\nu )\leq 1$ が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである $A$ のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

$(M,d)$ が可分であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束は測度の弱収束（英語版）と同値である。したがって、 $\pi$ は弱収束の位相の距離化である。
距離空間 $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ が可分であるための必要十分条件は $(M,d)$ が可分であることである。
$\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ が完備であるなら $(M,d)$ も完備である。 ${\mathcal {P}}(M)$ に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、 $(M,d)$ が完備であるなら $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ も完備となる。
$(M,d)$ が可分かつ完備であるなら、部分集合 ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ が相対コンパクトであることと、その $\pi$ -閉包が $\pi$ -コンパクトであることは同値である。