レヴィ-プロホロフ計量

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数学の分野におけるレヴィ-プロホロフ計量(レヴィ-プロホロフけいりょう、: Lévy–Prokhorov metric)とは、与えられた距離空間上の確率測度の系の上の計量のことを言う(すなわち、間隔の定義である)。フランス数学者ポール・レヴィ英語版と、ソヴィエトの数学者ユリ・プロホロフ英語版の名にちなむ。レヴィ計量の一般化として、1956年にプロホロフによって導入された。

定義[編集]

(M, d) を、ボレル完全加法族 \mathcal{B} (M) を備える距離空間とする。可測空間 (M, \mathcal{B} (M)) 上の全ての確率測度の系を \mathcal{P} (M) で表す。

部分集合 A \subseteq M に対し、そのε-近傍英語版

A^{\varepsilon} := \{ p \in M ~|~ \exists q \in A, \ d(p, q) < \varepsilon \} = \bigcup_{p \in A} B_{\varepsilon} (p)

で定義する。ここで B_{\varepsilon} (p)p を中心とする半径 \varepsilon開球とする。

レヴィ-プロホロフ計量 \pi : \mathcal{P} (M)^{2} \to [0, + \infty) は、二つの確率測度 \mu\nu の間の距離を

\pi (\mu, \nu) := \inf \left\{ \varepsilon > 0 ~|~ \mu(A) \leq \nu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{and} \ \nu (A) \leq \mu (A^{\varepsilon}) + \varepsilon \ \text{for all} \ A \in \mathcal{B}(M) \right\}

と定めることによって、定義される。

確率測度に対して \pi (\mu, \nu) \le 1 が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、あるいはのいずれかである A のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

性質[編集]

  • (M, d)可分であるなら、レヴィ-プロホロフ計量における測度の収束は測度の弱収束英語版と同値である。したがって、\pi は弱収束の位相の距離化である。
  • 距離空間 \left( \mathcal{P} (M), \pi \right)可分であるための必要十分条件(M, d) が可分であることである。
  • \left( \mathcal{P} (M), \pi \right)完備であるなら (M, d) も完備である。\mathcal{P} (M) に含まれる全ての測度が可分なを持つなら、その逆も成立する。すなわち、(M, d) が完備であるなら \left( \mathcal{P} (M), \pi \right) も完備となる。
  • (M, d) が可分かつ完備であるなら、部分集合 \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P} (M)相対コンパクトであることと、その \pi-閉包が \pi-コンパクトであることは同値である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]